[Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

[Laurae]

Dernière mise à jour : 26/06/2013
Bonne lecture !

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Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae


Nous avançons cette fois vers un exercice sur les nombres complexes.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.

Meilleures solutions :
- nikitouzz : viewtopic.php?p=144909#p144909
- mdr1 : viewtopic.php?f=67&t=12556&p=144920#p144915

Sans certitudes :
- critor : viewtopic.php?p=144885#p144885 - annexe Bisam : viewtopic.php?f=67&t=12556&p=144920#p144920

[critor]

Je crois que l'on doit pouvoir s'en sortir sans nombres complexes à un niveau Première S en faisant appel aux formules des angles associés du style cos(Pi-x)=-cos(x)

[nikitouzz]

Donc on a :

0.5( exp(-i*pi/17)+exp(i*pi/17) + exp(-3*i*pi/17)+exp(3*i*pi/17) + exp(-5*i*pi/17)+exp(5*i*pi/17) + exp(-7*i*pi/17)+exp(7*i*pi/17) + exp(-9*i*pi/17)+exp(9*i*pi/17) + exp(-11*i*pi/17)+exp(11*i*pi/17) + exp(13*-i*pi/17)+exp(13*i*pi/17) + exp(-15*i*pi/17)+exp(15*i*pi/17) )

Donc :

Determinons sa partie reel :

exp(i*pi/17)+exp(3*i*pi/17)+exp(5*i*pi/17)+exp(7*i*pi/17)+exp(9*i*pi/17)+exp(11*i*pi/17)+exp(13*i*pi/17)+exp(15*i*pi/17) )

On peut voir grace a hayleia que la suit est geometrique (6 bonne minute pour trouver la raison et toussa --')

de raison : exp(2*i*pi/17) et de premier therme : exp(i*pi/17)

on en deduis donc que la suite que nous appelerons Fn est egale a :

exp(i*pi/17)*exp(2*i*pi/17)^n or ici on a n qui vaut 9 donc :

S(F8)=exp(i*pi/17) * ( 1-exp(16*i*pi/17) / 1-exp(2*i*pi/17) )

on peut l'ecrire sous la forme :

(1+exp(i*pi/17)) / (1-exp(2*i*pi/17)

Donc ca s'ecrit sous la forme :

1/(1-sqrt17(-1))

ce qui nous donne 1/2

OUFFFFFFFFFFFFFFFF (j'ai du m'aider de la calculette pour la fin ^^)

[mdr1]

Laurae : les petits traits rouges sous ton pseudo dans l'image ne font pas très pro.

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06-26-2013 Image 001.png (2.75 Kio) Vu 2658 fois

On notera que cette sotte de calculatrice croit qu'il s'agit là d'une valeur approchée et qu'elle renvoie simplement le même calcul si l'on ne fait pas CTRL+ENTER. Même si on la force à passer par les complexes en sommant les exponentielles complexes puis en prenant la partie réelle.

[Adriweb]

Je confirme les dires de Nikitouzz (du moins le résultat.....) avec WolframAlpha / Mathematica

Au fait, c'est égal à Cos[Pi/17] - Cos[(2*Pi)/17] + Cos[(3*Pi)/17] - Cos[(4*Pi)/17] - Sin[Pi/34] + Sin[(3*Pi)/34] - Sin[(5*Pi)/34] + Sin[(7*Pi)/34]

D'ailleurs.... pour le fun ca fait aussi ca, apparement :

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ou ca :

mdr1 : WolframAlpha fait aussi ca sur la somme, avant de s'autocorriger et de mettre la valeur exacte (:P)

[Laurae]

Laurae : les petits traits rouges sous ton pseudo dans l'image ne font pas très pro.

Corrigé (maintenant microsoft word connait le mot "Laurae" )

[Bisam]

C'est un très bon exercice de révision pour les futurs Sup...
On revoit les formules d'Euler et la somme des termes d'une suite géométrique.

La méthode de nikitouzz est donc très bonne... mais la rédaction (je ne parle pas de l'orthographe !) est loin du standard attendu au-delà du Lycée !

En revanche, je doute franchement qu'on puisse s'en sortir sans les complexes.

[nikitouzz]

La methode de euler ?

[Bisam]

Non, "les formules d'Euler"... celles qui donnent cos et sin en fonction de l'exponentielle complexe.
La "méthode d'Euler", c'est pour résoudre graphiquement ou numériquement des équations différentielles...

[nikitouzz]

Ah ok parce que moi je les connaissait car je m'interesse au maths mais en cours on a jamais vu ca...