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[Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Des minis exercices de mathématiques régulièrement, de niveau Terminale S/ES.

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[Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby Laurae » 26 Jun 2013, 10:19

Dernière mise à jour : 26/06/2013
Bonne lecture !

Les Exercices de Mathématiques de Laurae suivante (#3) : Suites #1
Les Exercices de Mathématiques de Laurae précédente (#1) : Limites #1

Compilation des exercices et des corrigés : Compilation Laurae



Nous avançons cette fois vers un exercice sur les nombres complexes.
Les solutions sont toujours indiquées sur le premier post en pièce jointe.
Vous gagnez 5 étoiles pour une réponse meilleure que celle proposée.


Exercice 2.png



Meilleures solutions :
- nikitouzz : viewtopic.php?p=144909#p144909
- mdr1 : viewtopic.php?f=67&t=12556&p=144920#p144915

Sans certitudes :
- critor : viewtopic.php?p=144885#p144885 - annexe Bisam : viewtopic.php?f=67&t=12556&p=144920#p144920
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby critor » 26 Jun 2013, 11:06

Je crois que l'on doit pouvoir s'en sortir sans nombres complexes à un niveau Première S en faisant appel aux formules des angles associés du style cos(Pi-x)=-cos(x)
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby nikitouzz » 26 Jun 2013, 12:23

Donc on a :

0.5( exp(-i*pi/17)+exp(i*pi/17) + exp(-3*i*pi/17)+exp(3*i*pi/17) + exp(-5*i*pi/17)+exp(5*i*pi/17) + exp(-7*i*pi/17)+exp(7*i*pi/17) + exp(-9*i*pi/17)+exp(9*i*pi/17) + exp(-11*i*pi/17)+exp(11*i*pi/17) + exp(13*-i*pi/17)+exp(13*i*pi/17) + exp(-15*i*pi/17)+exp(15*i*pi/17) )

Donc :

Determinons sa partie reel :

exp(i*pi/17)+exp(3*i*pi/17)+exp(5*i*pi/17)+exp(7*i*pi/17)+exp(9*i*pi/17)+exp(11*i*pi/17)+exp(13*i*pi/17)+exp(15*i*pi/17) )

On peut voir grace a hayleia que la suit est geometrique :p (6 bonne minute pour trouver la raison et toussa --')

de raison : exp(2*i*pi/17) et de premier therme : exp(i*pi/17)

on en deduis donc que la suite que nous appelerons Fn est egale a :

exp(i*pi/17)*exp(2*i*pi/17)^n or ici on a n qui vaut 9 donc :

S(F8)=exp(i*pi/17) * ( 1-exp(16*i*pi/17) / 1-exp(2*i*pi/17) )

on peut l'ecrire sous la forme :

(1+exp(i*pi/17)) / (1-exp(2*i*pi/17)

Donc ca s'ecrit sous la forme :

1/(1-sqrt17(-1))

ce qui nous donne 1/2

OUFFFFFFFFFFFFFFFF (j'ai du m'aider de la calculette pour la fin ^^)
Mes records personnels :
2x2x2 : 2.18 secondes / 2x2x2 une main : 21.15 secondes / 2x2x2 yeux bandés : 47.59
3x3x3 : 5.97 secondes / 3x3x3 une main : 49.86 secondes
4x4x4 : 1.49 minutes / 4x4x4 une main : 6.50 minutes
5x5x5 : 4.10 minutes / 5x5x5 une main : 18.02 minutes
6x6x6 : 8.10 minutes
7x7x7 : 16.03 minutes
9x9x9 : 58.26 minutes

megaminx : 5.59 minutes / pyraminx : 7.91 secondes / square-one : 1.07 minutes

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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby mdr1 » 26 Jun 2013, 12:53

Laurae : les petits traits rouges sous ton pseudo dans l'image ne font pas très pro. :p

06-26-2013 Image 001.png
06-26-2013 Image 001.png (2.75 KiB) Viewed 1527 times

On notera que cette sotte de calculatrice croit qu'il s'agit là d'une valeur approchée et qu'elle renvoie simplement le même calcul si l'on ne fait pas CTRL+ENTER. Même si on la force à passer par les complexes en sommant les exponentielles complexes puis en prenant la partie réelle.
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby Adriweb » 26 Jun 2013, 13:03

Je confirme les dires de Nikitouzz (du moins le résultat.....) avec WolframAlpha / Mathematica :P

Au fait, c'est égal à
Cos[Pi/17] - Cos[(2*Pi)/17] + Cos[(3*Pi)/17] - Cos[(4*Pi)/17] - Sin[Pi/34] + Sin[(3*Pi)/34] - Sin[(5*Pi)/34] + Sin[(7*Pi)/34]


D'ailleurs.... pour le fun ca fait aussi ca, apparement :
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ou ca :
Image



mdr1 : WolframAlpha fait aussi ca sur la somme, avant de s'autocorriger et de mettre la valeur exacte (:P)
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby Laurae » 26 Jun 2013, 13:16

mdr1 wrote:Laurae : les petits traits rouges sous ton pseudo dans l'image ne font pas très pro. :p


Corrigé :p (maintenant microsoft word connait le mot "Laurae" :p )
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby Bisam » 26 Jun 2013, 13:24

C'est un très bon exercice de révision pour les futurs Sup...
On revoit les formules d'Euler et la somme des termes d'une suite géométrique.

La méthode de nikitouzz est donc très bonne... mais la rédaction (je ne parle pas de l'orthographe !) est loin du standard attendu au-delà du Lycée !

En revanche, je doute franchement qu'on puisse s'en sortir sans les complexes.
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby nikitouzz » 26 Jun 2013, 15:50

La methode de euler ?
Mes records personnels :
2x2x2 : 2.18 secondes / 2x2x2 une main : 21.15 secondes / 2x2x2 yeux bandés : 47.59
3x3x3 : 5.97 secondes / 3x3x3 une main : 49.86 secondes
4x4x4 : 1.49 minutes / 4x4x4 une main : 6.50 minutes
5x5x5 : 4.10 minutes / 5x5x5 une main : 18.02 minutes
6x6x6 : 8.10 minutes
7x7x7 : 16.03 minutes
9x9x9 : 58.26 minutes

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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby Bisam » 26 Jun 2013, 16:26

Non, "les formules d'Euler"... celles qui donnent cos et sin en fonction de l'exponentielle complexe.
La "méthode d'Euler", c'est pour résoudre graphiquement ou numériquement des équations différentielles...
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Re: [Exercices Maths Laurae #2] Complexes #1

Unread postby nikitouzz » 26 Jun 2013, 16:29

Ah ok parce que moi je les connaissait car je m'interesse au maths mais en cours on a jamais vu ca...
Mes records personnels :
2x2x2 : 2.18 secondes / 2x2x2 une main : 21.15 secondes / 2x2x2 yeux bandés : 47.59
3x3x3 : 5.97 secondes / 3x3x3 une main : 49.86 secondes
4x4x4 : 1.49 minutes / 4x4x4 une main : 6.50 minutes
5x5x5 : 4.10 minutes / 5x5x5 une main : 18.02 minutes
6x6x6 : 8.10 minutes
7x7x7 : 16.03 minutes
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