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Effectivement la valeur attendue de U6 est en 10^{-28}, un DL de x --> x - ln(1+x) aide à y voir plus clair.
Nul doute que toutes les réponses seront acceptées .
=> https://www.math93.com/divers/corriges-du-bac-et-actualite-en-maths/948-bac-s-2019-amerique-du-nord-28-mai-2019-une-question-plante-presque-toutes-les-calculatrices.html

critor a écrit:Autre article à ce sujet : http://revue.sesamath.net/spip.php?breve2564 (merci Adriweb)

J'ai écrit à sesamaths, parce que je pense que leur brève laisse croire que la valeur renvoyée par Python est bonne, alors que c'est un pur hasard si la valeur fausse de u_6 donne une valeur correcte pour n. Par exemple si on avait demandé une précision de 10^(-18).

Je continue à me demander si il n'y avait pas moyen de s'en sortir au niveau Terminale tout en restant dans l'esprit du sujet (c'est-à-dire en utilisant l'algorithme de la question précédente).

Tentons à nouveau de construire l'expression par récurrence, mais en utilisant les propriétés du logarithme pour la transformer au fur et à mesure :

Code: Tout sélectionner

def e(x):return exp(x)
def ln(x):return log(x)

def tv3(n):
  s="1"
  for k in range(n+1):
    print(k,"1-ln("+s+")")
    print(k,eval("1-ln("+s+")"))
    if s!="1":
      t=s+"*"
    else:t=""
    if s!="1":
      if len(s)!=1:t+="ln(e(2)/("+s+"))"
      else:t+="ln(e(2)/"+s+")"
    else:t+="2"
    s=t

Et bien non, pareil, on transforme encore une fois l'erreur sans la repousser ni vraiment l'atténuer. On atteint ici la limite 0 au rang 6 !
Mais après, on peut toujours se dire qu'il vaut mieux une valeur nulle que négative...

Code: Tout sélectionner

>>> tv3(7)
0 1-ln(1)
0 1.0
1 1-ln(2)
1 0.3068528194400547
2 1-ln(2*ln(e(2)/2))
2 0.039231000595620014
3 1-ln(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2))))
3 0.0007499834542035178
4 1-ln(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2))))))
4 2.8109705407786123e-07
5 1-ln(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2))))))))
5 3.941291737419306e-14
6 1-ln(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2))))))))))
6 0.0
7 1-ln(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)))*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2)*ln(e(2)/(2*ln(e(2)/2))))))))))))
7 0.0
>>>

Je disais plus haut que tout appareil calculant en virgule flottante sur un nombre fixe de bits allait être très rapidement vaincu par l'exercice.

Sur les TI-89, TI-92 Plus, TI-Voyage 200 et TI-89 Titanium, par contre, on peut installer l'OS tiers PedroM.

Or, PedroM dispose d'un mode de calcul en multiprécision accessible par l'application built-in "zs".

Les résultats sur notre exemple sont impressionnants, ici sur TI-92+ avec PedroM 0.82 :


Crédits à Lionel Debroux pour le test.

En effet, certaines des capacités de zs (GMP + MPFR + MAYLIB, cette dernière étant une lib custom de PpHd) dépassent de beaucoup celles d'AMS en puissance et/ou en vitesse.

Pour le calcul de cette exercice, la production de la tour de log dont on voit la fin dans mon screenshot est rapide, mais le calcul de la forme approchée est beaucoup plus lent, je dirais des dizaines de secondes sur machine réelle. Cependant, on peut demander une précision bien plus élevée que ce qui suffit pour que le calcul soit faisable en approché tout du long: 1->u, suivi de approx(u-log(1+u),100)->u jusqu'à ce que u < 1e-14. Quelques secondes à chaque pas.

Il me semble qu'on pouvait traiter la question en restant au niveau TS en adaptant l'enonce pour suivre la demarche suivante:
a la question precedente, on a pose f(x):=x-ln(1+x) et calcule f'(x)=x/(1+x) et f(0)=0. On montre facilement que f'(t) est compris entre t/2 et t pour t entre 0 et 1 donc f(x) est compris entre integrale de t/2 entre 0 et x = x^2/4 = g(x) et integrale de t entre 0 et x =x^2/2=h(x). Il suffit alors de calculer les 2 suites recurrentes a partir du rang u_3.
Ca aurait aussi eu l'interet de relever un peu l'exigence en maths qui me semble quand meme plutot faible dans cet exercice.