Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Métropole)
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Correction exercice n°2 non-spé (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 de Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2033
Question A)1) :
Au 1er janvier 2017 il y a
Au 1er février 2017, il y aura
Au 1er février 2017, il y aura
Question A)2)a) :
Pour tout entier naturel n :
Donc
Question A)2)b) :
Donc pour tout entier naturel n :
Question A)2)c) :
Donc pour tout entier naturel n :
Question A)3) :
Or,
Donc
La présidente devra démissionner au bout de 10 mois, soit au 1er novembre 2017.
Question B)1) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
Il utilise 3 variables :
A chaque mois écoulé, le paiement des cotisations des U membres implique :
Affecter à S la valeur S+10U
On souhait afficher le montant total collecté, d'où :
Sortie : Afficher S
Question B)2) :
Voici la trace par itération de l'algorithme :
Le total perçu est donc d'environ 38760.47€.
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2033
Question A)1) :
Au 1er janvier 2017 il y a
$mathjax$u_0=900$mathjax$
adhérents.$mathjax$u_1=u{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,75 u_0+12\\
\phantom{u_1}=0,75\times 900+12\\
\phantom{u_1}=675+12\\
\phantom{u_1}=687$mathjax$
\phantom{u_1}=0,75 u_0+12\\
\phantom{u_1}=0,75\times 900+12\\
\phantom{u_1}=675+12\\
\phantom{u_1}=687$mathjax$
Au 1er février 2017, il y aura
$mathjax$u_1=687$mathjax$
adhérents.$mathjax$u_2=u{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,75 u_1+12\\
\phantom{u_2}=0,75\times 687+12\\
\phantom{u_2}=515,25+12\\
\phantom{u_2}=527,25$mathjax$
\phantom{u_2}=0,75 u_1+12\\
\phantom{u_2}=0,75\times 687+12\\
\phantom{u_2}=515,25+12\\
\phantom{u_2}=527,25$mathjax$
Au 1er février 2017, il y aura
$mathjax$527$mathjax$
adhérents.Question A)2)a) :
$mathjax$v_n=u_n-48\Leftrightarrow u_n=v_n+48$mathjax$
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n+12-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75(v_n+48)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+0,75\times 48-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n+12-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75(v_n+48)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+0,75\times 48-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n$mathjax$
Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison $mathjax$q=0,75$mathjax$
.Question A)2)b) :
$mathjax$v_0=u_0-48\\
\phantom{v_0}=900-48\\
\phantom{v_0}=852$mathjax$
\phantom{v_0}=900-48\\
\phantom{v_0}=852$mathjax$
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}852\times 0,75^n$mathjax$
\phantom{v_n}852\times 0,75^n$mathjax$
Question A)2)c) :
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_n=v_n+48\\
\phantom{u_n}=852\times 0,75^n+48$mathjax$
\phantom{u_n}=852\times 0,75^n+48$mathjax$
Question A)3) :
$mathjax$u_n<100\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48<100\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48-48<100-48\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n<52\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{852\times 0,75^n}{852}<\frac{52}{852}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 0,75^n<\frac{13}{213}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow ln\left(0,75^n\right)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\text{ car }0,75^n>0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n ln(0,75)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,75)}{ln(0,75)}>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\text{ car }ln(0,75)<0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}$mathjax$
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48-48<100-48\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n<52\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{852\times 0,75^n}{852}<\frac{52}{852}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 0,75^n<\frac{13}{213}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow ln\left(0,75^n\right)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\text{ car }0,75^n>0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n ln(0,75)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,75)}{ln(0,75)}>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\text{ car }ln(0,75)<0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\approx 9,7$mathjax$
Donc
$mathjax$n≥10$mathjax$
.La présidente devra démissionner au bout de 10 mois, soit au 1er novembre 2017.
Question B)1) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
Il utilise 3 variables :
- l'entier N qui est incrémentée de 1 à 12 dans le corps de la boucle est donc le nombre de mois écoulés
- le réel U qui est initialisé à $mathjax$u_0=900$mathjax$et modifié dans le corps de la boucle selon la relation de récurrence$mathjax$u_{n+1}=0,75 u_n+12$mathjax$est donc le nombre d'adhérents
- le réel S initialisé à 0 est la somme des cotisations mensuelles collectées
A chaque mois écoulé, le paiement des cotisations des U membres implique :
Affecter à S la valeur S+10U
On souhait afficher le montant total collecté, d'où :
Sortie : Afficher S
Question B)2) :
Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.
Algorithme | Programme | ||||||||||
|
|
Voici la trace par itération de l'algorithme :
N | U | S |
0 | 900 | 0 |
1 | 687 | 9000 |
2 | 527 | 15870. |
3 | 407 | 21142.5 |
4 | 318 | 25216.88 |
5 | 250 | 28392.66 |
6 | 200 | 30894.49 |
7 | 162 | 32890.87 |
8 | 133 | 34508.15 |
9 | 112 | 35841.11 |
10 | 96 | 36960.84 |
11 | 84 | 37920.63 |
12 | 75 | 38760.47 |
Le total perçu est donc d'environ 38760.47€.