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Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Métropole)

Discussions scientifiques et scolaires

Correction exo 2 non-spé (algo) BAC ES/L 2017 (Métropole)

Message non lude critor » 21 Juin 2017, 10:12

Correction exercice n°2 non-spé (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 de Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2033

Question A)1) :
Au 1er janvier 2017 il y a
$mathjax$u_0=900$mathjax$
adhérents.
$mathjax$u_1=u{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,75 u_0+12\\
\phantom{u_1}=0,75\times 900+12\\
\phantom{u_1}=675+12\\
\phantom{u_1}=687$mathjax$

Au 1er février 2017, il y aura
$mathjax$u_1=687$mathjax$
adhérents.
$mathjax$u_2=u{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,75 u_1+12\\
\phantom{u_2}=0,75\times 687+12\\
\phantom{u_2}=515,25+12\\
\phantom{u_2}=527,25$mathjax$

Au 1er février 2017, il y aura
$mathjax$527$mathjax$
adhérents.

Question A)2)a) :
$mathjax$v_n=u_n-48\Leftrightarrow u_n=v_n+48$mathjax$


Pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n+12-48\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75(v_n+48)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+0,75\times 48-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,75 v_n$mathjax$


Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison
$mathjax$q=0,75$mathjax$
.

Question A)2)b) :
$mathjax$v_0=u_0-48\\
\phantom{v_0}=900-48\\
\phantom{v_0}=852$mathjax$


Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}852\times 0,75^n$mathjax$


Question A)2)c) :
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_n=v_n+48\\
\phantom{u_n}=852\times 0,75^n+48$mathjax$


Question A)3) :
$mathjax$u_n<100\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48<100\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n+48-48<100-48\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 852\times 0,75^n<52\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{852\times 0,75^n}{852}<\frac{52}{852}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow 0,75^n<\frac{13}{213}\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow ln\left(0,75^n\right)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\text{ car }0,75^n>0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n ln(0,75)<ln\left(\frac{13}{213}\right)\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow \frac{n ln(0,75)}{ln(0,75)}>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\text{ car }ln(0,75)<0\\
\phantom{u_n<100}\Leftrightarrow n>\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}$mathjax$

Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{13}{213}\right)}{ln(0,75)}\approx 9,7$mathjax$

Donc
$mathjax$n≥10$mathjax$
.

La présidente devra démissionner au bout de 10 mois, soit au 1er novembre 2017.

Question B)1) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Pour.
Il utilise 3 variables :
  • l'entier N qui est incrémentée de 1 à 12 dans le corps de la boucle est donc le nombre de mois écoulés
  • le réel U qui est initialisé à
    $mathjax$u_0=900$mathjax$
    et modifié dans le corps de la boucle selon la relation de récurrence
    $mathjax$u_{n+1}=0,75 u_n+12$mathjax$
    est donc le nombre d'adhérents
  • le réel S initialisé à 0 est la somme des cotisations mensuelles collectées

A chaque mois écoulé, le paiement des cotisations des U membres implique :
Affecter à S la valeur S+10U

On souhait afficher le montant total collecté, d'où :
Sortie : Afficher S

Question B)2) :
Pour obtenir le résultat ainsi que sa justification avec la trace par itération, rajoutons une instruction d'affichage en fin de boucle et programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique.


Algorithme
Programme
Code: Tout sélectionner
Variables :
   S réel
   N entier
   U réel
Traitement :
   S prend la valeur 0
   U prend la valeur 900
   Pour N allant de 1 à 12 :
      Affecter à S la valeur S+10U
      Affecter à U la valeur 0,75u+12
      Afficher N, U et S
   Fin pour
Sortie :
   Afficher S
Code: Tout sélectionner
0→S
900→U
For(N,1,12
   S+10U→S
   0.75U+12→U
   Pause {N,U,S}
End
S

Code: Tout sélectionner
Define me2017es()=
Func
   Local s,u,n
   0→s
   900→u
   For n,1,12
      s+10·u→s
      0.75·u+12→u
      Disp n,u,s
   EndFor
   Return s
EndFunc
Code: Tout sélectionner
0→S
900→U
For 1→N To 12
   S+10U→S
   0.75U+12→U
   {N,U,S}◢
End
S

Code: Tout sélectionner
SetDecimal
0⇒s
900⇒u
For 1⇒n To 12
   s+10u⇒s
   0.75u+12⇒u
   Print {n,u,s}
End
Return s
Code: Tout sélectionner
EXPORT me2017es()
BEGIN
   S:=0;
   U:=900;
   FOR N FROM 1 TO 12 DO
      S:=S+10*U;
      U:=0.75*U+12;
      PRINT({N,U,S});
   END;
   PRINT(S);
END;


Voici la trace par itération de l'algorithme :
NUS
09000
16879000
252715870.
340721142.5
431825216.88
525028392.66
620030894.49
716232890.87
813334508.15
911235841.11
109636960.84
118437920.63
127538760.47


Le total perçu est donc d'environ 38760.47€.
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