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Question 1) :
La superficie envahie est réduite de 10%.
Donc il reste
$mathjax$120\left(1-\frac{10}{100}\right)=120(1-0,1)\\
\phantom{120\left(1-\frac{10}{100}\right)}=120\times 0,9\\
\phantom{120\left(1-\frac{10}{100}\right)}=108$mathjax$
\phantom{120\left(1-\frac{10}{100}\right)}=120\times 0,9\\
\phantom{120\left(1-\frac{10}{100}\right)}=108$mathjax$
Mais chaque année, 4m² sont à leur tour envahis.
$mathjax$108+4=112$mathjax$
112m² seront envahis au 1er janvier 2018.
Question 2) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
Il utilise 2 variables :
- N qui initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est donc le rang de l'année à partir de 2017
- U est donc par conséquent la superficie envahie au 1er janvier de l'année en question
La variable U doit donc être initialisée à la superficie envahie au 1er janvier 2017 :
L1 : U prend la valeur 120
Le corps de la boucle permet de passer à l'année suivante.
La variable U doit donc y subir une affectation récursive conformément à la relation de récurrence
$mathjax$u_{n+1}=0,9 u_n+4$mathjax$
:L4 : U prend la valeur 0,9U+4
L'algorithme doit se terminer lorsque la superficie envahie aura été réduire au moins de moitié.
$mathjax$\frac{120}{2}=60$mathjax$
Donc c'est-à-dire U≤60.
La condition de poursuite de la boucle Tant que est donc le contraire : U>60
L3 : Tant que U>60
Enfin, l'algorithme doit retourner une année. Donc :
L7 : Afficher 2017+N
Question 3)a) :
$mathjax$v_n=u_n-40\Leftrightarrow u_n=v_n+40$mathjax$
Pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-40\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 u_n+4-40\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9(v_n+40)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n+0,9\times 40-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=0,9 u_n+4-40\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 u_n-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9(v_n+40)-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n+0,9\times 40-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n+36-36\\
\phantom{v_{n+1}}=0,9 v_n$mathjax$
Donc
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est une suite géométrique de raison $mathjax$q=0,9$mathjax$
et de premier terme $mathjax$v_0=u_0-40\\
\phantom{v_0}=120-40\\
\phantom{v_0}=80$mathjax$
.\phantom{v_0}=120-40\\
\phantom{v_0}=80$mathjax$
Question 3)b) :
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}80\times 0,9^n$mathjax$
\phantom{v_n}80\times 0,9^n$mathjax$
Question 3)c) :
Donc pour tout entier naturel n :
$mathjax$u_n=v_n+40\\
\phantom{u_n}=80\times 0,9^n+40$mathjax$
\phantom{u_n}=80\times 0,9^n+40$mathjax$
Question 4)a) :
$mathjax$80\times 0,9^n+40≤60\Leftrightarrow 80\times 0,9^n+40-40≤60-40\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow 80\times 0,9^n≤20\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow \frac{80\times 0,9^n}{80}≤\frac{20}{80}\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow 0,9^n≤\frac{1}{4}\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow ln\left(0,9^n\right)≤ln\left(\frac{1}{4}\right)\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow n\times ln(0,9)≤-ln(4)\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,9)}{ln(0,9)}>\frac{-ln(4)}{ln(0,9)}\text{ car }ln(0,9)<0$mathjax$
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow 80\times 0,9^n≤20\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow \frac{80\times 0,9^n}{80}≤\frac{20}{80}\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow 0,9^n≤\frac{1}{4}\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow ln\left(0,9^n\right)≤ln\left(\frac{1}{4}\right)\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow n\times ln(0,9)≤-ln(4)\\
\phantom{80\times 0,9^n+40≤60}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,9)}{ln(0,9)}>\frac{-ln(4)}{ln(0,9)}\text{ car }ln(0,9)<0$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{-ln(4)}{ln(0,9)}\approx 13,2$mathjax$
.Donc
$mathjax$n≥14$mathjax$
.Question 4)b) :
Nous venons de résoudre
$mathjax$u_n≤60$mathjax$
.C'est donc à partir de
$mathjax$2017+14=2031$mathjax$
que la superficie envahie aura été réduite au moins de moitié.Notons qu'il s'agit de la même question qu'en 2) mais sous une forme différente.
Il est donc malin de programmer l'algorithme obtenu à la question 2) sur notre calculatrice pour vérifier la cohérence des deux résulats.
Il est donc malin de programmer l'algorithme obtenu à la question 2) sur notre calculatrice pour vérifier la cohérence des deux résulats.
Algorithme | Programme | ||||||||||
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Question 5) :
$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} 0,9^n=0$mathjax$
car $mathjax$0,9<1$mathjax$
.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\to\infty} u_n=80\times 0+40\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=0+40\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=40$mathjax$
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=0+40\\
\phantom{\lim\limits_{n\to\infty} u_n}=40$mathjax$
A long terme, la surface envahie ne disparaîtra pas mais stabiliser son recul autour de 40m².
