Correction exo 4 (algo) BAC STAV 2017 (Métropole)

[critor]

Correction exercice n°4 (algo) du sujet de Maths du BAC STAV 2017 en Métropole :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2302

Question 1) :
De façon générale, chaque année le nombre de colonies baisse de 7,5%.
Donc pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_{n+1}=u_n\left(1-\frac{7,5}{100}\right)\\
\phantom{u_{n+1}}=u_n(1-0,075)\\
\phantom{u_{n+1}}=0,925 u_n$mathjax$

Donc la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

est géométrique de raison

$mathjax$q=0,925$mathjax$

.

Question 2) :
En 2016, année de rang 0, il y avait 650000 colonies.
Donc

$mathjax$u_0=650000$mathjax$

.

On en déduit pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=u_0 q^n\\
\phantom{u_n}=650000\times 0,925^n$mathjax$

Question 3) :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que et utilise 2 variables.
La variable u, initialisée à 650000 et subissant dans la boucle une affectation récursive conforme à la relation de récurrence de la suite

$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$

, est donc le nombre de colonies.
La variable n, initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle, est donc le rang de l'année.
La condition de poursuite de la boucle Tant que étant

$mathjax$u>100000$mathjax$

, l'algorithme se termine sur la réalisation de la condition contraire,

$mathjax$u≤100000$mathjax$

.
L'algorithme affichant en sortie la variable n, il détermine donc le rang de l'année à partir de laquelle le nombre de colonies sera tombé à 100000 ou moins.

Question 4) :

Pour obtenir la réponse, programmons et exécutons l'algorithme de la question précédente sur notre calculatrice.
Pour obtenir la justification, modifions légèrement pour afficher l'état des variables à chaque fin d'itération de la boucle.

Algorithme

Programme

Code: Tout sélectionner u prend pour valeur 650000 n prend pour valeur 0 Tant que u>100000    n prend la valeur n+1    u prend la valeur 0,925×u    Afficher n, u et u>100000 Fin tant que Afficher n

TI- 82 83/84 TI- Nspire 89/92/V200 Casio Graph Prizm/fx-CG Casio Classpad fx-CP HP Prime 39GII Code: Tout sélectionner 650000→U 0→N While U>100000    0.925U→U    N+1→N    Disp {N,U,U>100000} End N Code: Tout sélectionner Define metro2017stav()= Func    Local n,u    650000→u    0→n    While u>100000       0.925·u→u       n+1→n       Disp n,u,u>100000    EndWhile    return n EndFunc Code: Tout sélectionner 650000→U 0→N While U>100000    0.925U→U    N+1→N    {N,U,U>100000}◢ End N Code: Tout sélectionner 650000⇒u 0⇒n While u>100000    0.925u⇒u    n+1⇒n    Print {n,u,judge(u>100000)} End Print n Code: Tout sélectionner EXPORT metro2017stav() BEGIN    U:=650000;    N:=0;    WHILE U>100000 DO       U:=0.925*U;       N:=N+1;       PRINT({N,U,U>100000});    END;    RETURN N; END;

Voici la trace par itération de l'exécution de l'algorithme sur calculatrice :

n	u	u>100000
1	601250	Vrai
2	556156	Vrai
3	514445	Vrai
4	475861	Vrai
5	440172	Vrai
6	407159	Vrai
7	376622	Vrai
8	348375	Vrai
9	322247	Vrai
10	298079	Vrai
11	275723	Vrai
12	255043	Vrai
13	235915	Vrai
14	218222	Vrai
15	201855	Vrai
16	186716	Vrai
17	172712	Vrai
18	159759	Vrai
19	147777	Vrai
20	136694	Vrai
21	126442	Vrai
22	116958	Vrai
23	108187	Vrai
24	100073	Vrai
25	92567	Faux

C'est donc au bout de 25 années que le nombre de colonies passera en dessous de 100000.

[Bisam]

On peut d'ailleurs calculer ce nombre d'années à l'aide de la formule établie à la question 2.

$mathjax$u_n<100000 \Leftrightarrow 0.925^n < \frac{100000}{650000}=\frac{2}{13} \Leftrightarrow n > \frac{\ln(2/13)}{\ln(0.925)} \approx 24.0093$mathjax$

C'est donc au bout de la 25ème année que l'on sera en-dessous de ce seuil.

PS : On remarque que ce seuil est plutôt mal choisi car avec des troncatures à 6 chiffres significatifs (comme dans l'énoncé) à chaque étape, on pourrait bien trouver 24 années au lieu de 25...
Par coup de bol, ce n'est pas le cas.