Correction exo 2 (algo) BAC ES/L 2017 (Liban)

→ **MyCalcs** profile · de **critor** » 11 Juin 2017, 23:23

Correction exercice n°2 (algo) du sujet de Maths du BAC ES/L 2017 au Liban :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2178

Question A)1) :

$mathjax$\frac{486-559}{559}=\frac{-73}{559}\\
\phantom{\frac{486-559}{559}}\approx -0,13$mathjax$

La France a donc réduit ses émissions de GES d'environ 13%.
13%>8% et la France respectait donc ses engagements.

Question A)2) :
Posons x pour les émissions en 2010.

$mathjax$x\left(1-\frac{5,6}{100}\right)=486\Leftrightarrow x(1-0,056)=486\\
\phantom{x\left(1-\frac{5,6}{100}\right)=486}\Leftrightarrow 0,944 x=486\\
\phantom{x\left(1-\frac{5,6}{100}\right)=486}\Leftrightarrow x=\frac{486}{0,944}$mathjax$

Donc

$mathjax$x\approx 514,8$mathjax$

La France émettait donc environ 514,8 tonnes de CO₂ en 2010.

Question B)1) :
En 2005, année de rang 0, l'émission est de 41 milliers de tonnes.
Donc

$mathjax$u_0=41$mathjax$

.

En 2006, année de rang 1, l'émission des entreprises déjà installées est réduite de 2%, auxquels s'ajoutent 200 tonnes d'émissions pour les entreprises nouvellement installées, soit 0,2 milliers de tonnes.
Donc

$mathjax$u_1=u_0\left(1-\frac{2}{100}\right)+0,2\\
\phantom{u_1}=41(1-0,02)+0,2\\
\phantom{u_1}=41\times 0,98+0,2\\
\phantom{u_1}=40,18+0,2\\
\phantom{u_1}=40,38$mathjax$

Question B)2) :
De façon générale, chaque année l'émission des entreprises déjà installées est réduite de 2%, auxquels s'ajoutent 0,2 milliers de tonnes d'émissions pour les entreprises nouvellement installées.
Donc

$mathjax$u_{n+1}=u_n\left(1-\frac{2}{100}\right)+0,2\\
\phantom{u_{n+1}}=u_n(1-0,02)+0,2\\
\phantom{u_{n+1}}=0,98 u_n+0,2$mathjax$

Question B)3)a) :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=u_n-10$mathjax$

.
Or,

$mathjax$v_n=u_n-10\Leftrightarrow u_n=v_n+10$mathjax$

Donc, pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-10\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98 u_n+0,2-10\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98 u_n-9,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98(v_n+10)-9,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98(v_n+10)-9,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98 v_n+0,98\times 10-9,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98 v_n+9,8-9,8\\
\phantom{v_{n+1}}=0,98 v_n$mathjax$

Donc la suite

$mathjax$(v_n)$mathjax$

est géométrique de raison

$mathjax$q=0,98$mathjax$

et de premier terme

$mathjax$v_0=u_0-10\\
\phantom{v_0}=41-10\\
\phantom{v_0}=31$mathjax$

.

Question B)3)b) :
Donc, pour tout entier naturel n :

$mathjax$v_n=v_0 q^n\\
\phantom{v_n}=31\times 0,98^n$mathjax$

Question B)3)c) :
Donc, d'après B)3)a), pour tout entier naturel n :

$mathjax$u_n=v_n+10\\
\phantom{u_n}=31\times 0,98^n+10$mathjax$

Question B)4)a) :

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}0,98^n=0$mathjax$

car

$mathjax$0,98<1$mathjax$

.
Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=31\times 0+10\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=0+10\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=10\\$mathjax$

Question B)4)c) :
Sur un grand nombre d'année, l'émission de la zone industrielle tendra à se stabiliser autour de 10 milliers de tonnes.

Question B)5)a) :
En 2005, la zone industrielle émettait 41 milliers de tonnes, et la moitié correspond donc à 20,5 milliers de tonnes.
L'émission correspond ici à la variable U.

L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que.
On souhaite qu'il se termine lorsque

$mathjax$U=20,5$mathjax$

.
La condition de poursuite de la boucle Tant que est donc le contraire, à savoir

$mathjax$U>20,5$mathjax$

.
Ligne 7 : Tant que (U>20,5) faire

L'affectation de la variable U dans la boucle quant à elle suit la formule de récurrence.
Ligne 9 : U prend la valeur 0,98U+0,2

La question suivante révélant que l'algorithme est censé afficher 54, on peut vérifier notre réponse en le programmant sur calculatrice graphique.

Algorithme

Programme

Code: Tout sélectionner: Variables U est du type nombre n est du type nombre entier Début Algorithme U prend la valeur 41 n prend la valeur 0 Tant que (U>20.5) faire Début Tant que U prend la valeur 0.98U+0.2 n prend la valeur n+1 Fin Tant que Afficher n Fin Algorithme