Question 4)
On reconnaît un algorithme de dichotomie.
L'algorithme travaille ici sur la fonction H, qui d'après la question précédente est strictement monotone sur ]0;1], et y admet une unique solution
$mathjax$a$mathjax$
telle que $mathjax$H(a)=0,5$mathjax$
.Les différentes valeurs utilisées dans l'algorithme (0, 1 et 0,5) confirment que c'est bien cette même solution
$mathjax$a$mathjax$
qui est recherchée.Lors de l'initialisation, on a
$mathjax$A<B$mathjax$
.Lors des itérations, la valeur C est affectée soit à la variable A, soit à la variable B.
Or, on a
$mathjax$C=\frac{A+B}{2}$mathjax$
et donc dans ce contexte $mathjax$A<C<B$mathjax$
.L'affectation ne change donc pas l'ordre et
$mathjax$A<B$mathjax$
est une propriété invariante tout le long de l'exécution de l'algorithme.L'algorithme s'articule autour d'une boucle tant que, de condition de poursuite
$mathjax$B-A>10^{-p}$mathjax$
.Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire :
$mathjax$B-A≤10^{-p}$mathjax$
.En fin d'algorithme, A et B sont donc respectivement les bornes inférieures et supérieures d'un encadrement de la solution
$mathjax$a$mathjax$
, avec une amplitude d'au plus $mathjax$10^{-p}$mathjax$
.
