Correction exo 4 BAC S 2016 (Nouvelle Calédonie mars 2017)
Posté: 17 Mar 2017, 16:22Correction de l'exo 4 (recherche / prise d'initiative) du sujet de Maths du BAC S 2016 tombe en Nouvelle Calédonie en mars 2017 : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2223
D'après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite
Démontrons cette propriété par récurrence :
Donc
Or,
D'où
La suite
D'après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
vérifie $mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$
.Démontrons cette propriété par récurrence :
- Initialisation :
Pour$mathjax$n=0$mathjax$,$mathjax$\frac{0}{0+1}=\frac{0}{1}=u_0$mathjax$.
Dans la propriété est vraie au rang 0. - Hérédité :
Supposons que la propriété soit vérifiée à un certain rang$mathjax$n$mathjax$, c'est-à-dire que l'on ait$mathjax$u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$.
Démontrons alors que la propriété est vraie au rang$mathjax$n+1$mathjax$, c'est-à-dire que l'on a$mathjax$u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$mathjax$.$mathjax$u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2\left(n+1\right)}{n+1}-\frac{n}{n+1}}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2n+2}{n+1}-\frac{n}{n+1}}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{2n+2-n}{n+1}}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{1}{\frac{n+2}{n+1}}\\
\phantom{u_{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}$mathjax$ - Conclusion :
Donc$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=\frac{n}{n+1}$mathjax$.
Donc
$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n+1}\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$mathjax$
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\\
\phantom{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$mathjax$
Or,
$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}=0$mathjax$
.D'où
$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=1$mathjax$
La suite
$mathjax$\left(u_n\right)$mathjax$
converge bien vers 1.