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Bonjour, je bloque sur l'exo suivant: p appartient à ]0,1]. Pour tout (x,y) appartenant à (IR+)², mq (x+y)^p <= x^p+y^p. Je pensais partir sur l'etude de f:x --> exp(p*ln(x+y))/(exp(p*ln(x))+exp(p*ln(y))) m'enfin j'ai l'impression de plus m'embrouiller qu'autre chose..

Tu connais la convexité ?
Si tu connais, utilise la concavité de la fonction sur [0,1].
Sinon, tu peux commencer par étudier la fonction sur [0,1].

On a commencé à étudier la convexité, mais j'ai un peu de mal à m'en servir..
Il me semble que t->t^p est concave sur [0,1] pour 0<p<=1, même si je ne sais pas comment le démontrer. Même avec ça, je ne vois pas trop comment avancer..

Effectivement, la fonction est concave sur [0,1] lorsque .
Tu peux ensuite utiliser la définition de la convexité (ou plutôt de la concavité) en posant .

Je ne suis pas sur, mais la def de f convexe, il me semble que c'est pour tout t appartenant à [0,1], pour tout (x,y) appartenant à I², f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)
Donc si g(x) est ccv, comme dans le cas de l'exo, je peux appliquer la formule précédente avec -g(x)?
Je ne sais pas si c'est ça la définition de la concavité dont tu parles.

Oui, c'est ça.
Mais en fait, j'ai finalement un doute... je pense qu'il faut aussi utiliser la croissance de la fonction... et peut-être même que ce n'est pas la bonne fonction.

Bref, essaie plutôt mon autre indication.

Je trouve qu'elle est croissante sur [0,1/2] et décroissante sur [1/2,1] pour tout 0<p<=1
Mais je bloque toujours ensuite, bref tan pis, je verrais à la correction, j'aurai cherché au moins. Merci pour ton aide Bisam.

Tu pouvais en déduire qu'elle est toujours supérieure ou égale à 1 (valeur en t=0 et t=1).
Ensuite, tu appliques le résultat en t=x/(x+y) (ou en t=y/(x+y), au choix) et c'est gagné.