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Coucou tout le monde,



Voilà je suis un peu en galère sur cet exo que je doit rendre demain au prof de maths (c'est notre premier exo sur les intégrales donc il doit pas être très dififcile mais je bloque quand même !)
Si quelqu'un aurait une idée, ce serait sympa...

Pour l'inégalité de droite :


Pour l'inégalité de gauche :
En fait j'ai essayé de rentrer le 1 dans l'intégrale mais je vois pas trop comment continuer
C'est le sens le plus dur je pense. Le prof à parlé de condition nécessaire et suffisante mais je vois pas trop bien comment l'utiliser !

Merci d'avance
Xywez

En passant, pour l'inégalité de droite (ce n'est pas ta question mais j'ai lu par curiosité), avant dernière ligne...

Soit tu as trébuché juste avant la réussite, soit t'es allé un peu vite...
Ou alors j'ai mal interprété tes notations. Ton symbole intégrale veut dire primitive? Intégrale sur tout l'intervalle?

Une primitive de 1 donne t (et non pas 1).
Mais comme t=1, on arrive à la même chose en inégalité.


L'inégalité de gauche est intéressante
J'y pense...


Edit: 1ère idée
J'aurais envie de poster une fonction g(t)=Racine(1+t²).
Je dis pas que c'est la bonne idée... Au niveau où tu es, faut pas hésiter à se lancer!
Et si l'idée est mauvaise, ça permet de mieux cerner la bonne plus tard

Edit: 1ère idée, suite
Ca semble intéressant avec cette fonction.
L'inégalité de gauche revient à prouver:
g(Intégrale(f(t)dt))=Intégrale(g(f(t))dt
Je la trouve à la fois intéressante et jolie cette inégalité...
Composée de fonctions, et permutations d'opérateurs, hum...
Tu en penses quoi?

En résumé : Somme de Riemann, fonction convexe, Inégalité de Jensen,... (enfin, si j'ai bonne mémoire)
Je t'en dirai plus un peu plus tard.

critor2000 --> c'est vrai que poser une fonction g peut être une bonne idée, j'essaye cette piste et je post dans peut de temps ce que j'kai trouvé avec

Sinon pour l'intégrale de 1 j'ai mal précisé c'est vrai que c'est de ma faute mais vu que on s'occupe de f sur l'interval [0,1] toutes les intégrales que j'ai écrite dans mon premier post son à prendre entre les bornes 0 et 1. On a bien l'intégrale de 1 sur [0,1] qui vaut 1 dans ce cas.

Bisam -- ok no problème de toute façon, je repasse pour dire ce qu'il en ait


Merci les mec !

Comme l'a si bien dit Bisam, en posant ma fonction g(t), cela revient à écrire l'inégalité de Jensen.

c'est vrai que avec ce que tu a dit, on obtient sans problème qu'il faut montrer l'inégalité suivante :

g(Intégrale(f(t)dt))=Intégrale(g(f(t))dt

et après l'inégalité de jensen nous dis juste quelle est vérifiée d'où les deux sens

Seul hic dans l'histoire, on a pas encore parlé ce Jensen dans le cours je viens de vérifier, je vais regarder la démo de son inégalité pour voir si elle est difficile !

En tout cas bien joué pour l'idée !

La démonstration m'a l'air... épicée... (du point de vue élève)

c'est vrai que la démo n'est pas du tout facile xD


mais il y a quand même quelque chose qui m tracasse, on ne suppose pas f convexe or pour l'inégalité de jenson, on a une fonction ici f convexe, mais il faudrai montrer que g est convexe

soit g(t) = sqrt(1+t²) convexe mais pourquoi ? je me souvient plus trop des fonctions convexe xD sa remonte à loin lol

En fait, le cas général est assez compliqué à montrer avec la méthode usuelle des sommes de Riemann... mais on peut s'en passer ici.

Si tu étudiais (au hasard) la fonction h:x-g(f(x)) - g(A) - (f(x)-A)*g'(A), où g est la fonction donnée par Critor plusieurs fois : g:t-racine(1+t^2), afin d'en déduire son signe.

Et si tu intégrais habilement ensuite...

PS : je vais regarder un truc à la télé (une série quelconque enregistrée) et je repasse plus tard... tu auras sans doute fini.

Xywez -> g(x) est convexe si g''(x)>0

Allez, en 20 secondes avec Symbolic sur ta 84+, tu sauras si c'est convexe ou pas