Correction exo 2 (algo) BAC ES/L 2019 (Antilles-Guyane juin)
Posté: 19 Juin 2019, 13:55
Correction de l'exercice 2 (algorithme) du BAC ES/L 2019 Antilles-Guyane :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=3409
Question 1 :
Question 2 :
Augmenter la taille de 5% chaque mois revient à multiplier par
Donc pour tout entier naturel n,
Question 3a :
Pour tout entier naturel n,
Donc pour tout entier naturel n,
Question 3b :
Donc pour tout entier naturel n,
Question 3c :
Pour tout entier naturel n,
Question 3d :
Au bout du 7ème mois, le bambou mesurera donc 304 cm.
Question 4a :
Question 4b :
A la fin de l'algorithme, la variable n contient donc la valeur 4.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite u<200.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire u≥200.
Il travaille avec deux variables :
L'algorithme détermine donc le nombre de mois au bout desquels le bambou dépassera 200 cm.
Question 4b :
Le bambou a donc maintenant pour taille initiale 50 cm au lieu de 100 cm. On remplace donc l'affectation
On cherche maintenant à savoir quand est-ce qu'il dépassera non plus 2 m = 200 cm, mais 10 mètres, soit 1000 centimètres. On remplace donc
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=3409
Question 1 :
$mathjax$u_1=u_0\left(1+\frac{5}{100}\right)+20\\
\phantom{u_1}=100\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=100\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=105+20\\
\phantom{u_1}=125$mathjax$
\phantom{u_1}=100\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=100\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=105+20\\
\phantom{u_1}=125$mathjax$
$mathjax$u_2=u_1\left(1+\frac{5}{100}\right)+20\\
\phantom{u_1}=125\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=125\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=131,25+20\\
\phantom{u_1}=151,25$mathjax$
\phantom{u_1}=125\left(1+0,05\right)+20\\
\phantom{u_1}=125\times 1,05+20\\
\phantom{u_1}=131,25+20\\
\phantom{u_1}=151,25$mathjax$
Question 2 :
Augmenter la taille de 5% chaque mois revient à multiplier par
$mathjax$1+\frac{5}{100}=1+0,05\\
\phantom{1+\frac{5}{100}}=1,05$mathjax$
, valeur à laquelle s'ajoute donc 20cm.\phantom{1+\frac{5}{100}}=1,05$mathjax$
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_{n+1}=1,05\times u_n+20$mathjax$
Question 3a :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n-400$mathjax$
.Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-400\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n+20+400\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n-420\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-\frac{420}{1,05}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-400\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times v_n$mathjax$
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n+20+400\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_n-420\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-\frac{420}{1,05}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\left(u_n-400\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=1,05\times v_n$mathjax$
$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$
est donc une suite géométrique de raison $mathjax$q=1,05$mathjax$
et de premier terme $mathjax$v_0=u_0+400\\
\phantom{v_0}=100+400\\
\phantom{v_0}=500$mathjax$
\phantom{v_0}=100+400\\
\phantom{v_0}=500$mathjax$
Question 3b :
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=v_0\times q^n\\
\phantom{v_n}=500\times 1,05^n$mathjax$
\phantom{v_n}=500\times 1,05^n$mathjax$
Question 3c :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=u_n+400\Leftrightarrow v_n-400=u_n+400-400\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow v_n-400=u_n\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=v_n-400\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=500\times 1,05^n-400\text{ d'après 3b}\\$mathjax$
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow v_n-400=u_n\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=v_n-400\\
\phantom{v_n=u_n+400}\Leftrightarrow u_n=500\times 1,05^n-400\text{ d'après 3b}\\$mathjax$
Question 3d :
$mathjax$u_7=500\times 1,05^7-400\\
\phantom{u_7}\approx 304$mathjax$
\phantom{u_7}\approx 304$mathjax$
Au bout du 7ème mois, le bambou mesurera donc 304 cm.
Question 4a :
Modifions l'algorithme afin de lui faire produire directement le tableau demandé :
Algorithme | Programme | ||||||||||||||||
|
|
Test u<200 | vrai | vrai | vrai | vrai | faux | |
Valeur de u | 100 | 125 | 151,25 | 178,8125 | 207,753125 | |
Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Question 4b :
A la fin de l'algorithme, la variable n contient donc la valeur 4.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle Tant que de condition de poursuite u<200.
Il se termine donc sur la réalisation de la condition contraire u≥200.
Il travaille avec deux variables :
- u initialisée à $mathjax$u_0=100$mathjax$et affectée récursivement dans la boucle selon la relation de récurrence$mathjax$u_{n+1}=1,05\times u_n+20$mathjax$, et qui représente donc la taille du bambo en centimètres
- n initialisée à 0 puis incrémentée de 1 dans la boucle, et qui représente donc le nombre de mois écoulés
L'algorithme détermine donc le nombre de mois au bout desquels le bambou dépassera 200 cm.
Question 4b :
Le bambou a donc maintenant pour taille initiale 50 cm au lieu de 100 cm. On remplace donc l'affectation
u←100
par u←50
.On cherche maintenant à savoir quand est-ce qu'il dépassera non plus 2 m = 200 cm, mais 10 mètres, soit 1000 centimètres. On remplace donc
Tant que u<200
par Tant que u<1000
.- Code: Tout sélectionner
u←50
n←0
Tant que u<1000 faire
u←1,05×u+20
n←n+1
Afficher u<200, u et n
Fin tant que