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Correction exercice n°3 du sujet de Maths du BAC ES/L 2018 en Inde :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2955

Question 1 :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$u_{n+1}=0,8 u_n+18$mathjax$

.
Donc

$mathjax$u_1=u_{0+1}\\
\phantom{u_1}=0,8 u_0+18\\
\phantom{u_1}=0,8\times 65+18\\
\phantom{u_1}=52+18\\
\phantom{u_1}=70$mathjax$

De même

$mathjax$u_2=u_{1+1}\\
\phantom{u_2}=0,8 u_1+18\\
\phantom{u_2}=0,8\times 70+18\\
\phantom{u_2}=56+18\\
\phantom{u_2}=74$mathjax$

Question 2a :
Pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=u_n-90$mathjax$

.
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_{n+1}=u_{n+1}-90\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n+18-90\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 u_n-72\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-\frac{72}{0,8}\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8\left(u_n-90\right)\\
\phantom{v_{n+1}}=0,8 v_n$mathjax$

Donc la suite

$mathjax$\left(v_n\right)$mathjax$

est géométrique de raison

$mathjax$q=0,8$mathjax$

et de premier terme

$mathjax$v_0=u_0-90\\
\phantom{v_0}=65-90\\
\phantom{v_0}=-25$mathjax$

Question 2b :
Donc pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=v_0\times 0,8^n\\
\phantom{v_n}=-25\times 0,8^n$mathjax$

Or, pour tout entier naturel n,

$mathjax$v_n=u_n-90\Leftrightarrow v_n+90=u_n-90+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow v_n+90=u_n\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=v_n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=-25\times 0,8^n+90\\
\phantom{v_n=u_n-90}\Leftrightarrow u_n=90-25\times 0,8^n$mathjax$

Question 3a :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle tant que et utilise deux variables :

n initialisée à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle qui est donc le rang
u initialisée à
$mathjax$u_0=65$mathjax$
et affecté selon la relation de récurrence dans la boucle qui est donc le terme
$mathjax$u_n$mathjax$

L'algorithme doit rechercher le plus petit n pour que

$mathjax$u_n\ge 85$mathjax$

, c'est-à-dire dans son contexte se terminer sur la réalisation de

$mathjax$u\ge 85$mathjax$

.
La condition de poursuite de la boucle tant que est donc le contraire, c'est-à-dire

$mathjax$u<85$mathjax$

.
Ligne 3: Tant que u<85

Question 3b :

Programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique pour obtenir la réponse. Afin de pouvoir en prime en justifier via une pseudo-trace de son exécution, rajoutons en fin du corps de la boucle une instruction d'affichage de l'état des variables et de la condition de poursuite de la boucle.

Voici une trace d'exécution de l'algorithme :

Etape	n	u	u<85
Initialisation	0	65	Vrai
1ère itération tant que	1	70	Vrai
2ème itération tant que	2	74	Vrai
3ème itération tant que	3	77,2	Vrai
4ème itération tant que	4	79,76	Vrai
5ème itération tant que	5	81,808	Vrai
6ème itération tant que	6	83,4464	Vrai
7ème itération tant que	7	84,75712	Vrai
8ème itération tant que	8	85,805696	Faux

L'algorithme répond donc 8.

Question 3c :
D'après la question 2b :

$mathjax$u_n≥85\Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n≥85\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n-90≥85-90\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow -25\times 0,8^n≥-5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 25\times 0,8^n≤5\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{25\times 0,8^n}{25}≤\frac{-5}{25}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow 0,8^n≤\frac{1}{5}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow ln\left(0,8^n\right)≤ln\left(\frac{1}{5}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤ln(1)-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤0-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n\times ln(0,8)≤-ln(5)\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,8)}{ln(0,8)}≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}\\
\phantom{u_n≥85}\Leftrightarrow n≥\frac{-ln(5)}{ln(0,8)} \text{car ln(0,8)<0}$mathjax$

Or,

$mathjax$\frac{-ln(5)}{ln(0,8)}\approx 7,2$mathjax$

Donc

$mathjax$n≥8$mathjax$

.
Le plus petit entier n vérifiant la propriété est bien 8.

Question 4a :
Nous avons au départ

$mathjax$u_0=65$mathjax$

particuliers.
Chaque mois on perd 20% par résiliation, ce qui revient à multiplier par

$mathjax$\left(1-\frac{20}{100}\right)=1-0,2\\
\phantom{\left(1-\frac{20}{100}\right)}=0,8$mathjax$

Mais on gagne 18 nouvelles souscriptions, ce qui revient à ajouter 10.
On retrouve donc bien la même relation de récurrence.

Question 4b :
Une recette mensuelle de 4420€ correspond à

$mathjax$\frac{4420}{52}=85$mathjax$

particuliers.
La recette mensuelle dépasse 4420€ si et seulement si

$mathjax$u_n≥85$mathjax$

.
Or, nous avons vu en question 3 cette inéquation admettait comme solutions

$mathjax$n≥8$mathjax$

.
La recette dépassera donc 4420€ en 8 mois à compter de juillet 2017, c'est-à-dire en mars 2018.
Les 4420€ de recette seront donc bien dépassés en 2018.

Question 4c :

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}0,8^n=0$mathjax$

car

$mathjax$0<0,8<1$mathjax$

.
Donc

$mathjax$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=90$mathjax$

.
Le nombre mensuel de particuliers va tendre vers 90.
Cela implique que la recette mensuelle va tendre vers

$mathjax$90\times 52=4680€$mathjax$

.

il y a python sur la calculatrice HP ? sinon on peut résoudre facilement ce genre de problème avec la ti 36xpro , il suffit de faire 2nd set op , op=*0.8+18 on entre 65 en première valeur , puis 2nd op jusqu'à arriver à 85 et on trouve facilement n=8 , nul besoin de python

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Correction exo 3 (algo) BAC ES/L 2018 (Inde)

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Re: Correction exo 3 (algo) BAC ES/L 2018 (Inde)