Correction exo 1A (algo) BAC S 2018 (Inde)
Posté: 05 Mai 2018, 13:43
Correction exercice n°1 partie A du sujet de Maths du BAC S 2018 en Inde :
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2955
Question A-1 :
L'algorithme appelé avec n=4 répond à la question.
Voici une trace d'exécution de l'algorithme :
La température du four au bout de 4 heures est donc de 463°C à l'unité près.
Question A-2 :
Montrons par récurrence que
Question A-3 :
Or,
Donc
C'est au bout de 15 heures que le four pourra être ouvert sans danger.
https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=2955
Question A-1 :
L'algorithme appelé avec n=4 répond à la question.
Programmons l'algorithme sur notre calculatrice graphique pour obtenir la réponse. Afin de pouvoir en justifier via une pseudo-trace de son exécution, rajoutons une instruction d'affichage de l'état des variables en fin de boucle.
Algorithme | Programme | ||||||||||||||||||
|
Contrairement à un vrai évaluateur Python, la variable I doit ici être saisie obligatoirement en majuscule. Sans quoi, la calculatrice la prend pour le nombre complexe.
|
Voici une trace d'exécution de l'algorithme :
Etape | i | T |
Initialisation | 1000 | |
Pour i=1 | 1 | 824 |
Pour i=2 | 2 | 679 |
Pour i=3 | 3 | 560 |
Pour i=4 | 4 | 463 |
La température du four au bout de 4 heures est donc de 463°C à l'unité près.
Question A-2 :
Montrons par récurrence que
$mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$
.- Initialisation :
Pour n=0,$mathjax$T_0=1000$mathjax$et$mathjax$980\times 0,82^0+20=980\times 1+20\\
\phantom{980\times 0,82^0+20}=980+20\\
\phantom{980\times 0,82^0+20}=1000$mathjax$
Donc la propriété est vraie au rang n=0. - Hérédité :
Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang n, c'est-à-dire que l'on a$mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$.
Montrons alors que la propriété est alors vraie au rang n+1, c'est-à-dire que$mathjax$T_{n+1}=980\times 0,82^{n+1}+20$mathjax$.$mathjax$T_{n+1}=0,82\times T_n+3,6 \text{d'après l'algorithme}\\
\phantom{T_{n+1}}=0,82\times\left(980\times 0,82^n+20\right)+3,6 \text{d'après l'hypothèse}\\
\phantom{T_{n+1}}=0,82\times 980\times 0,82^n+0,82\times 20+3,6\\
\phantom{T_{n+1}}=980\times 0,82\times 0,82^n+16,4+3,6\\
\phantom{T_{n+1}}=980\times 0,82^{n+1}+20$mathjax$ - Conclusion :
Donc pour tout entier naturel n,$mathjax$T_n=980\times 0,82^n+20$mathjax$.
Question A-3 :
$mathjax$T_n≤70\Leftrightarrow 980\times 0,82^n+20≤70\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n+20-20≤70-20\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n≤50\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{980\times 0,82^n}{980}≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{5}{98}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow ln\left(0,82^n\right)≤ln\left(\frac{5}{98}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n\times ln(0,82)≤ln\left(\frac{5}{98}\right)\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,82)}{ln(0,82)}≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)} \text{car ln(0,82)<0}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)}$mathjax$
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n+20-20≤70-20\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 980\times 0,82^n≤50\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{980\times 0,82^n}{980}≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{50}{980}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow 0,82^n≤\frac{5}{98}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow ln\left(0,82^n\right)≤ln\left(\frac{5}{98}\right) \text{car la fonction ln est croissante}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n\times ln(0,82)≤ln\left(\frac{5}{98}\right)\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow \frac{n\times ln(0,82)}{ln(0,82)}≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)} \text{car ln(0,82)<0}\\
\phantom{T_n≤70}\Leftrightarrow n≥\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)}$mathjax$
Or,
$mathjax$\frac{ln\left(\frac{5}{98}\right)}{ln(0,82)}\approx 14,994$mathjax$
.Donc
$mathjax$n≥15$mathjax$
.C'est au bout de 15 heures que le four pourra être ouvert sans danger.
On vérifie le résultat en évaluant l'algorithme programmé sur la calculatrice :
- avec n=14 en vérifiant bien que l'on obtient strictement plus de 70°C
- puis n=15 en vérifiant bien que l'on obtient moins de 70°C