Ce matin, les candidats au BAC S des lycées français du Liban ont eu droit à un algorithme en exercice 4 de leur sujet de
Maths Spécialité. Certes, comme une majorité d'algorithmes du BAC il est posé dans le contexte d'une suite, mais c'est aussi notre premier algorithme de spécialité!
Alors jetons-y un coup d'oeil cette nuit sans plus attendre:
Question 1)On sait donc que u
0=3 et u
1=8.
On en déduit que:
u
2=5*u
1-6*u
0=5*8-6*3=40-18=22
u
3=5*u
2-6*u
1=5*22-6*8=110-48=62
Question 2)a)On veut donc un algorithme calculant le terme de rang n de la suite.
Il s'agit ici d'une suite récurrente d'ordre 2, c'est-à-dire que le calcul du terme suivant nécessite la connaissance des valeurs des deux termes précédents:
u
n+2=5u
n+1-6u
nL'énoncé nous donne un algorithme à compléter
L'instruction de sortie finale
'Afficher b' nous indique que c'est la variable b qui contiendra à la fin le résultat voulu, et c'est justement l'instruction d'affectation de b qui manque dans l'algorithme.
On sait donc que u
2=22.
Tentons de réaliser une trace de l'algorithme dans le cas où n=2, avec les valeurs des variables à chaque instruction:
[tableborder=1]
| Instruction | a | b | c | n | i |
| a prend la valeur 3 | 3 | | | | |
| b prend la valeur 8 | 3 | 8 | | | |
| Saisir n | 3 | 8 | | 2 | |
| Pour i=2 | 3 | 8 | | 2 | 2 |
| c prend la valeur a | 3 | 8 | 3 | 2 | 2 |
| a prend la valeur b | 8 | 8 | 3 | 2 | 2 |
| b prend la valteur ... | 8 | 22 | 3 | 2 | 2 |
[/table]
En dernière ligne de la trace, une affectation qui avec les valeurs courantes des variables reproduit le calcul 5*8-6*3 qui donne 22 est donc
"b prend la valeur 5a-6c".
Notons qu'il y a une autre solution:
"b prend la valeur 5b-6c", puisque a et b contiendront toujours la même chose au moment de cette instruction qui fait en effet suite à
"a prend la valeur b".
L'algorithme final peut donc être:
- Code: Tout sélectionner
Initialisation:
a prend la valeur 3
b prend la valeur 8
Traitement:
Saisir n
Pour i variant de 2 à n faire
c prend la valeur a
a prend la valeur b
b prend la valeur 5a-6c
Fin Pour
Sortie:
Afficher b
Le sujet a la gentillesse de donner ce qu'est censé afficher l'algorithme.
En situation d'examen, afin de confirmer notre réponse avant de continuer il suffit de programmer l'algorithme sur notre calculatrice graphique et de vérifier qu'il donne les mêmes valeurs.
Voici le programme pour calculatrices TI-82 à TI-84:
Voici maintenant ce qu'il affiche:
On constate bien des résultats cohérents avec l'énoncé ci-dessus.
Si vous êtes munis d'une Casio Graph/Prizm, vous pouvez réaliser la même chose en saisissant le programme suivant:
Et voici son affichage, encore une fois cohérent:
Si enfin vous êtes munis d'une TI-Nspire ou TI-89/92/V200, voici le programme et ses affichages une fois de plus cohérents:
Avant de nous quitter, posons-nous une dernière question au cas où...
Et si l'énoncé n'avait pas donné l'affichage correct de l'algorithme?
Il vous aurait suffi dans ce cas de définir la suite sur votre calculatrice et d'en demander un tableau de valeurs.
Sur TI-82 à TI-84, commencez par passer en mode
'suite' ou
'sequence' en anglais -
La suite vous est donc définie par une relation de récurrence
un+2=5*un+1-6*un.
La calculatrice ne vous permet pas de définir le terme de rang n+2
(ni même n+1) mais uniquement le terme de rang n.
Vous devez donc commencer par réécrire cette relation deux rangs en-dessous, c'est-à-dire en remplaçant tous les
'n' par des
'n-2'.
Cela nous donne
un=5*un-1-6*un-2Une fois cette relation établie, il vous suffit d'aller la saisir -
Notons bien que dans le cas de cette suite récurrente d'ordre 2, il faut bien préciser dans une liste les deux valeurs initiales 3 et 8 dans l'ordre inverse de leur rang.
Selon l'état de votre calculatrice, il peut alors être nécessaire de modifier les paramètres du tableau de valeurs, à partir de 0 avec un pas de 1 dans le cas d'une suite -
Et vous pouvez enfin demander le tableau de valeurs -
Sur TI-Nspire il vous faut utiliser la même relation.
Dans une application graphique, choisissez un entrée sous forme de suite -
Saisissez alors la relation trouvée plus haut:
Remarquons que contrairement aux TI-82 à TI-84, les termes initiaux sont ici à lister dans le même ordre que leur rang.
Et demandez enfin le tableau de valeurs -
Sur une Casio Graph/Prizm, il suffit d'accéder à l'application
'Recurrence'.
L'application permet bien à priori de définir directement le terme de rang n+1, mais c'est le terme de rang n+2 qu'il nous faudrait ici...
En fait, c'est parfaitement possible - il suffit de changer la forme de saisie de la suite dans le menu [TYPE]:
L'on peut maintenant saisir directement l'expression de l'énoncé!
Mais il ne faut surtout pas oublier de préciser la valeur des termes initiaux, et cela se fait dans un autre écran accessible via le menu [SET]:
Une fois cet écran trouvé plus d'erreur possible, car les rangs des termes initiaux sont clairement indiqués!
On y précise également les paramètres de notre tableau de valeurs, que voici enfin:
Lien:Annales des sujets inédits du BAC S 2013 et corrigés
