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Source : http://www.planet-casio.com/Fr/forums/l ... p?id=12955
Téléchargement : Emulateur Casio Graph 35+USB 2.00
Casio Gagne une Casio Prizm fx-CG20 couleur avec Planete Casio
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Examens Correction suites/algo Maths BAC S 2014 (Amérique Nord, mai)
Voici dès ce soir la correction de l'exercices de suites et algorithmes tombé hier à l'épreuve de Mathématiques du BAC S 2014 dans les lycées français d'Amérique du Nord.
Il s'agissait de l'exercice 4 pour non spécialistes, comptant pour 5 points et donc à traiter sur une durée indicative d'1 heure.
Question 1 :
Question 2 :
Pour tout entier naturel n,
Or, d'après la question 1
Donc
Question 3 :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite a<1100 et se termine donc sur la réalisation de la condition contraire a≥1100.
Cela veut dire que la variable a initialisée à a0=800 prend donc les valeurs des termes de la suite (an), et que la deuxième variable n initialisée à 0 est donc le rang associé.
Il y a donc deux affectations à faire dans le corps de la boucle:
En ce sens l'algorithme répond à la question et il n'y a rien de plus à faire après la boucle.
L'affectation de n faisant suite à la boucle et que l'on nous demande de compléter est donc une erreur.
Probablement que cette ligne devait en fait remplacer celle déjà complétée dans la boucle et qu'il y a eu une erreur de copier/coller.
Ou alors on complète cette ligne en une instruction inutile: Affecter à n la valeur n.
En situation d'examen, la programmation sur calculatrice graphique et la confrontation avec un tableau de valeurs fourni par l'application suites permet de vérifier la justesse de notre algorithme.
Voici pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Question 4-a :
Pour tout entier naturel n,
Donc (un) est une suite géométrique de raison
Question 4-b :
Donc pour tout entier naturel n,
Or
Question 5 :
D'après la question 2,
D'après la question 4_b,
La solution trouvée n'étant pas entière, il est donc impossible que les deux bassins aient exactement le même volume en fin de journée après les transferts.
Toutefois, intéressons-nous à ce qui se passe lorsque n=3.
D'après la calculatrice
À la fin du 3ème jour, les deux bassins auront donc au mètre cube près le même volume.
Au final un exercice bien sympathique qui pouvait être traité facilement en moins d'une heure, ce qui permettait de gagner du temps pour les autres.
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
Il s'agissait de l'exercice 4 pour non spécialistes, comptant pour 5 points et donc à traiter sur une durée indicative d'1 heure.
Question 1 :
$mathjax$a_n+b_n=a_0+b_0 \Leftrightarrow a_n+b_n=800+1400 \Leftrightarrow a_n+b_n=2200$mathjax$
Question 2 :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$a_{n+1}=a_n-\frac {10}{100}a_n+\frac {15}{100}b_n=\frac {10}{10}a_n-\frac {1}{10}a_n+\frac {3}{20}b_n=\frac {9}{10}a_n+\frac {3}{20}b_n$mathjax$
Or, d'après la question 1
$mathjax$a_n+b_n=2200$mathjax$
et donc $mathjax$b_n=2200-a_n$mathjax$
Donc
$mathjax$a_{n+1}=\frac {9}{10}a_n+\frac {3}{20} \left(2200-a_n\right)=\frac {18}{20}a_n+\frac {3}{20} \times 2200-\frac {3}{20}a_n=\frac {15}{20}a_n+330=\frac {3}{4}a_n+330$mathjax$
Question 3 :
L'algorithme s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite a<1100 et se termine donc sur la réalisation de la condition contraire a≥1100.
Cela veut dire que la variable a initialisée à a0=800 prend donc les valeurs des termes de la suite (an), et que la deuxième variable n initialisée à 0 est donc le rang associé.
Il y a donc deux affectations à faire dans le corps de la boucle:
- l'incrémentation du rang:
Affecter à n la valeur n+1 - l'affectation récurrente du terme traduisant la relation de la question 2:
Affecter à a la valeur 3/4×a+330
En ce sens l'algorithme répond à la question et il n'y a rien de plus à faire après la boucle.
L'affectation de n faisant suite à la boucle et que l'on nous demande de compléter est donc une erreur.
Probablement que cette ligne devait en fait remplacer celle déjà complétée dans la boucle et qu'il y a eu une erreur de copier/coller.
Ou alors on complète cette ligne en une instruction inutile: Affecter à n la valeur n.
- Code: Tout sélectionner
Variables :
n est un entier naturel
a est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à a la valeur 800
Traitement :
Tant que a<1100, faire :
Affecter à a la valeur 3/4×a+330
Affecter à n la valeur n+1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
En situation d'examen, la programmation sur calculatrice graphique et la confrontation avec un tableau de valeurs fourni par l'application suites permet de vérifier la justesse de notre algorithme.
Voici pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Question 4-a :
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{a_{n+1}-1320}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}a_n+330-1320}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}a_n-990}{a_n-1320}=\frac{\frac {3}{4}\left(a_n-1320\right)}{a_n-1320}=\frac {3}{4}$mathjax$
Donc (un) est une suite géométrique de raison
$mathjax$q=\frac{3}{4}$mathjax$
et de premier terme $mathjax$u_0=a_0-1320=800-1320=-520$mathjax$
.Question 4-b :
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$u_n=u_0 q^n=-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n$mathjax$
Or
$mathjax$u_n=a_n-1320$mathjax$
donc $mathjax$a_n=1320+u_n=1320-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n$mathjax$
Question 5 :
D'après la question 2,
$mathjax$a_n=b_n\Leftrightarrow a_n=2200-a_n\Leftrightarrow 2a_n=2200\Leftrightarrow a_n=1100$mathjax$
D'après la question 4_b,
$mathjax$a_n=1100\Leftrightarrow 1320-520 \left(\frac{3}{4}\right)^n=1100\Leftrightarrow 1320-1100=520 \left(\frac{3}{4}\right)^n\Leftrightarrow 520 \left(\frac{3}{4}\right)^n=220\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{220}{520}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{11}{26}\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n\times \ln\left(\frac{3}{4}\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n=\frac{\ln\left(\frac{11}{26}\right)}{\ln\left(\frac{3}{4}\right)}\approx 2,99$mathjax$
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{220}{520}\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}\right)^n=\frac{11}{26}\\
\phantom{a_n=1100}\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n\times \ln\left(\frac{3}{4}\right)=\ln\left(\frac{11}{26}\right)\Leftrightarrow n=\frac{\ln\left(\frac{11}{26}\right)}{\ln\left(\frac{3}{4}\right)}\approx 2,99$mathjax$
La solution trouvée n'étant pas entière, il est donc impossible que les deux bassins aient exactement le même volume en fin de journée après les transferts.
Toutefois, intéressons-nous à ce qui se passe lorsque n=3.
D'après la calculatrice
$mathjax$a_3=1100,625\approx 1101$mathjax$
et $mathjax$b_3=2200-a_3=2200-1100,625=1099,375\approx 1099$mathjax$
.À la fin du 3ème jour, les deux bassins auront donc au mètre cube près le même volume.
Au final un exercice bien sympathique qui pouvait être traité facilement en moins d'une heure, ce qui permettait de gagner du temps pour les autres.
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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Examens Sujets Mathématiques BAC S (Amérique Nord - mai 2014)
Voici les sujet de Mathématiques Obligatoire et Spécialité du BAC S 2014 tombé hier en Amérique du Nord.
Un excellent entraînement pour faire de bonnes révisions ce week-end !
Téléchargement :BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
- Exercice 1 : loi normale, loi binomiale, intervalle de confiance (5 points)
- Exercice 2 : fonctions, exponentielle, intégrales/aires (6 points)
- Exercice 3 : géométrie dans l'espace (4 points)
- Exercice 4 Obligatoire/Spécifique : suites, algorithmes (5 points)
- Exercice 4 Spécialité : systèmes de suites récurrentes, matrices, feuille de calculs (5 points)
Un excellent entraînement pour faire de bonnes révisions ce week-end !
Téléchargement :BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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Examens Sujets SES BAC ES 2014 (Liban - mai 2014)
Voici ce soir les sujets de SES Obligatoire et Spécialité du BAC ES 2014, tombés hier dans les lycées français du Liban.
Bonnes révisions !
Téléchargement : BAC ES 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
Bonnes révisions !
Téléchargement : BAC ES 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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Examens Sujet partiel de SVT BAC S 2014 (Liban - mai 2014)
Usuellement, il est difficile de récupérer pendant le week-end les sujets d'examens tombés le vendredi.
Toutefois, grâce à guspro, voici dès aujourd'hui la première partie du sujet de SVT du BAC S 2014, tombée hier dans les lycées français du Liban.
Merci à toi guspro !
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
Toutefois, grâce à guspro, voici dès aujourd'hui la première partie du sujet de SVT du BAC S 2014, tombée hier dans les lycées français du Liban.
Merci à toi guspro !
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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Examens Sujet Mathématiques BAC ES/L 2014 (Amérique du Nord - mai)
Il ne fallait bien évidemment pas s'attendre à ce que les sites institutionnels soient mis à jour le week-end...
Mais heureusement, grâce à une candidate qui l'a scanné et que nous remercions, voici le sujet de Mathématiques du BAC ES/L 2014 tombé hier en Amérique du Nord.
Annales2maths.com et math93.com proposent de plus déjà des corrections, mais tentez de faire le sujet avant de les consulter
Téléchargement :
Mais heureusement, grâce à une candidate qui l'a scanné et que nous remercions, voici le sujet de Mathématiques du BAC ES/L 2014 tombé hier en Amérique du Nord.
- Exercice 1 : lectures graphiques, fonctions/dérivées, exponentielles, densité de probabilité, intégrales/aires, QCM sans justification (5 points)
- Exercice 2 : probabilités conditionnelles, loi normale, échantillonnage et prise de décision (6 points)
- Exercice 3 : lectures graphiques, fonctions/dérivées, logarithmes, intégrales (5 points)
- Exercice 4 ES/L : suites, algorithmes (4 points)
Annales2maths.com et math93.com proposent de plus déjà des corrections, mais tentez de faire le sujet avant de les consulter
Téléchargement :
Lien vers le sujet sur le forum: Sujet Mathématiques BAC ES/L 2014 (Amérique du Nord - mai) (Commentaires: 2)
Examens Correction algorithme BAC ES/L 2014 (Liban - mai 2014)
Etudions aujourd'hui ensemble l'algorithme tombé au BAC ES/L 2014 au Liban.
Il s'agit de l'exercice 3:
Question 1-a :
Question 1-b :
L'année 2013+n il y a an adhérents.
L'année 2013+n+1 suivante, il y aura:
Question 2-a :
Pour tout entier naturel n,
Donc (un) est une suite géométrique de premier terme v0=500 et de raison 0,8.
Question 2-b :
Donc pour tout entier naturel n,
Donc
Question 2-c :
Donc
Question 2-d :
On en déduit donc qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre d'adhérents tendra vers 2000.
Question 3-a :
L'algorithme donné s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite A-2000>50, et s'achève donc sur la réalisation de la condition contraire A-2000≤50.
De plus l'algorithme renvoie alors la valeur de N.
L'algorithme recherche donc la valeur N telle que A-2000≤50.
Reste à comprendre ce que représentent ces variables:
Question 3-b :
Pour savoir ce que répond l'algorithme programmons-le sur notre calculatrice graphique.
Voici des traductions de l'algorithme pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Toutes les calculatrices répondent donc à l'unisson.
Réponse: 11
C'est donc en 2013+11=2024 qu'il y aura moins de 2050 adhérents.
Téléchargement :
Il s'agit de l'exercice 3:
Question 1-a :
$mathjax$a_1=0,8\times a_0+400=0,8\times 2500+400=2000+400=2400$mathjax$
$mathjax$a_2=0,8\times a_1+400=0,8\times 2400+400=1920+400=2320$mathjax$
Question 1-b :
L'année 2013+n il y a an adhérents.
L'année 2013+n+1 suivante, il y aura:
- 80% des inscrits qui renouvellent leur inscription soit $mathjax$\frac {80}{100}a_n=0,8a_n$mathjax$
- 400 nouveaux adhérents
$mathjax$a_{n+1}=0,8a_n+400$mathjax$
Question 2-a :
$mathjax$v_0=a_0-2000=2500-2000=500$mathjax$
Pour tout entier naturel n,
$mathjax$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{a_{n+1}-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n+400-2000}{a_n-2000}=\frac{0,8a_n-1600}{a_n-2000}=\frac{0,8\left(a_n-2000\right)}{a_n-2000}=0,8$mathjax$
Donc (un) est une suite géométrique de premier terme v0=500 et de raison 0,8.
Question 2-b :
Donc pour tout entier naturel n,
$mathjax$v_n=v_0\times 0,8^n=500\times 0,8^n$mathjax$
Donc
$mathjax$v_n=a_n-2000\Leftrightarrow v_n+2000=a_n\Leftrightarrow a_n=500\times 0,8^n+2000$mathjax$
Question 2-c :
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$mathjax$
car -1<0,8<1.Donc
$mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}500\times 0,8^n=0$mathjax$
et $mathjax$\lim\limits_{n \to +\infty}a_n=2000$mathjax$
Question 2-d :
On en déduit donc qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre d'adhérents tendra vers 2000.
Question 3-a :
L'algorithme donné s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite A-2000>50, et s'achève donc sur la réalisation de la condition contraire A-2000≤50.
De plus l'algorithme renvoie alors la valeur de N.
L'algorithme recherche donc la valeur N telle que A-2000≤50.
Reste à comprendre ce que représentent ces variables:
- La variable A est initialisée à 0 et affectée par réccurrence dans la boucle avec 0,8A+400, ce qui correspond à la définition par récurrence de la suite (an). La variable A prend donc les valeurs des termes de la suite (an).
- La variable N initialisée à 0 et incrémentée de 1 dans la boucle est alors l'indice associé à la valeur A.
Question 3-b :
Pour savoir ce que répond l'algorithme programmons-le sur notre calculatrice graphique.
Voici des traductions de l'algorithme pour TI-76/82/83/84, TI-Nspire, HP-39gII/Prime, Casio Prizm/fx-CG et Casio Classpad/fx-CP:
Toutes les calculatrices répondent donc à l'unisson.
Réponse: 11
C'est donc en 2013+11=2024 qu'il y aura moins de 2050 adhérents.
Téléchargement :
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Examens Correction algorithme spécialité BAC S 2014 Liban (mai 2014)
Entraînons-nous ce soir à l'algorithmique avec l'exercice de spécialité tombé au Liban pour le BAC S 2014:
Question 4-b :
On nous demande donc dans un premier temps de compléter l'algorithme.
Pour cela, commençons par l'analyser et le comprendre.
L'algorithme recherche la valeur maximale d'une suite que l'on suppose croissante puis décroissante.
Dans ce cas particulier, il suffit de rechercher quand est-ce que la suite commence à décroître.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite b<b'.
Il s'arrête donc forcément sur la vérification de la condition contraire: b≥b'.
Comme cela correspond à un début de décroissance, on en déduit que b et b' sont donc dans cet ordre deux termes consécutifs de la suite.
La valeur à retourner en résultat étant le maximum, il s'agira donc de b.
k qui est initialisé à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle est donc l'indice du terme de la suite correspondant à la valeur b, cette dernière étant initialisée à b0=0.
Restent encore x et y, initialisés respectivement à 0,95 et 0,8, et multipliées dans la boucle respectivement par 0,95 et 0,8 ils valent donc à tout moment 0,95k et 0,9k.
Ils permettent de mettre en oeuvre la formule générale donnée à la question 4-a pour l'affectation de b'.
D'où l'algorithme ainsi complété:
Dans un second temps, il nous faut donc compléter une sorte de trace de l'algorithme, résumant l'état des variables dans la boucle à partir de la 7ème itération.
Avec apparemment 9 itérations prévues et pas moins de 5 affectations à chaque fois, la réalisation manuelle de la trace serait fastidieuse...
Le mieux semble ici de demander directement les résultats à la calculatrice.
De plus, cela va nous permettre de valider notre algorithme en confrontant l'affichage avec les données déjà préremplies dans le tableau.
Usuellement, l'état des variables demandé lors d'une itération de boucle est soit celui en début de boucle, soit celui en fin de boucle.
On remarque ici que le tableau précise que c'est l'état après le passage dans la boucle qui nous intéresse.
Nous allons donc traduire cet algorithme en un programme pour nos calculatrices graphiques, en rajoutant en dernière instruction de la boucle un affichage de l'état des variables.
Aucune de nos calculatrices n'acceptant une variable nommée b', nous la renommerons c.
Précisons aussi concernant le résultat du test b<b', que certaines calculatrices répondront 1/0 à la place de Vrai/Faux.
Sur TI-76/82/83/84, vu la longueur des résultats nous utiliserons un affichage avec pause permettant à l'utilisateur de faire défiler le temps de recopier.
De plus, nous demanderons avantageusement un arrondi à 4 décimales conformément aux résultats préremplis dans le tableau.
Nous procédons de façon similaire sur TI-Nspire, à la différence qu'il n'est plus besoin de marquer une pause, l'ensemble de l'écran pouvant être défilé en fin de programme:
Idem sur HP-39gII/Prime:
Sur Casio par contre, je ne connais pas de moyen simple d'arrondir.
Voici ci-contre une proposition pour Casio Classpad/fx-CP:
Enfin, de même sur Casio Graph/Prizm/fx-CG:
Les affichages obtenus permettent à la fois de valider notre algorithme en étant conformes aux données préremplies du tableau, et de le compléter facilement par simple recopie:
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
Question 4-b :
On nous demande donc dans un premier temps de compléter l'algorithme.
Pour cela, commençons par l'analyser et le comprendre.
L'algorithme recherche la valeur maximale d'une suite que l'on suppose croissante puis décroissante.
Dans ce cas particulier, il suffit de rechercher quand est-ce que la suite commence à décroître.
L'algorithme s'articule autour d'une boucle 'tant que' de condition de poursuite b<b'.
Il s'arrête donc forcément sur la vérification de la condition contraire: b≥b'.
Comme cela correspond à un début de décroissance, on en déduit que b et b' sont donc dans cet ordre deux termes consécutifs de la suite.
La valeur à retourner en résultat étant le maximum, il s'agira donc de b.
k qui est initialisé à 0 et incrémenté de 1 dans la boucle est donc l'indice du terme de la suite correspondant à la valeur b, cette dernière étant initialisée à b0=0.
Restent encore x et y, initialisés respectivement à 0,95 et 0,8, et multipliées dans la boucle respectivement par 0,95 et 0,8 ils valent donc à tout moment 0,95k et 0,9k.
Ils permettent de mettre en oeuvre la formule générale donnée à la question 4-a pour l'affectation de b'.
D'où l'algorithme ainsi complété:
- Code: Tout sélectionner
Variables:
b, b', x, y sont des réels
k est un entier naturel
Initialisation:
Affecter à b la valeur 0
Affecter à b' la valeur 0,05
Affecter à k la valeur 0
Affecter à x la valeur 0,95
Affecter à y la valeur 0,8
Traitement:
Tant que b<b' faire
Affecter à k la valeur k+1
Affecter à b la valeur b'
Affecter à x la valeur 0,95x
Affecter à y la valeur 0,80y
Affecter à b' la valeur 1/3(x-y)
Fin Tant que
Sortie:
Afficher b
Dans un second temps, il nous faut donc compléter une sorte de trace de l'algorithme, résumant l'état des variables dans la boucle à partir de la 7ème itération.
Avec apparemment 9 itérations prévues et pas moins de 5 affectations à chaque fois, la réalisation manuelle de la trace serait fastidieuse...
Le mieux semble ici de demander directement les résultats à la calculatrice.
De plus, cela va nous permettre de valider notre algorithme en confrontant l'affichage avec les données déjà préremplies dans le tableau.
Usuellement, l'état des variables demandé lors d'une itération de boucle est soit celui en début de boucle, soit celui en fin de boucle.
On remarque ici que le tableau précise que c'est l'état après le passage dans la boucle qui nous intéresse.
Nous allons donc traduire cet algorithme en un programme pour nos calculatrices graphiques, en rajoutant en dernière instruction de la boucle un affichage de l'état des variables.
Aucune de nos calculatrices n'acceptant une variable nommée b', nous la renommerons c.
Précisons aussi concernant le résultat du test b<b', que certaines calculatrices répondront 1/0 à la place de Vrai/Faux.
Sur TI-76/82/83/84, vu la longueur des résultats nous utiliserons un affichage avec pause permettant à l'utilisateur de faire défiler le temps de recopier.
De plus, nous demanderons avantageusement un arrondi à 4 décimales conformément aux résultats préremplis dans le tableau.
Nous procédons de façon similaire sur TI-Nspire, à la différence qu'il n'est plus besoin de marquer une pause, l'ensemble de l'écran pouvant être défilé en fin de programme:
Idem sur HP-39gII/Prime:
Sur Casio par contre, je ne connais pas de moyen simple d'arrondir.
Voici ci-contre une proposition pour Casio Classpad/fx-CP:
Enfin, de même sur Casio Graph/Prizm/fx-CG:
Les affichages obtenus permettent à la fois de valider notre algorithme en étant conformes aux données préremplies du tableau, et de le compléter facilement par simple recopie:
k | b | x | y | b' | Test: b<b' | |
Après la 7è passage dans la boucle Tant que | 7 | 0,1628 | 0,6634 | 0,1678 | 0,1652 | VRAI |
Après la 8è passage dans la boucle Tant que | 8 | 0,1652 | 0,6302 | 0,1342 | 0,1653 | VRAI |
Après la 9è passage dans la boucle Tant que | 9 | 0,1653 | 0,5987 | 0,1074 | 0,1638 | FAUX |
Téléchargement : BAC S 2014 - Annales des sujets inédits 2013-2014
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