Regardons un petit peu ce matin l'algorithme qui vient de tomber dans l'épreuve de Maths commune aux séries ES Obligatoire et L Spécialité, pour les candidats passant les BAC ES et L 2013 dans les lycées français d'Amérique du Nord.
Encore une fois, comme dans une majorité des cas au BAC, l'algorithme tombe dans le contexte d'un exercice sur les suites:
Question A)2)L'algorithme de l'énoncé comporte l'affectation récurrente
"U prend la valeur U*0,95+6" correspondant à la relation de récurrence de la question précédente u
n+1=u
n*0,95+6.
De plus, on y trouve l'initialisation
"Mettre 42 dans U" qui correspond au terme initial u
0=42.
Cet algorithme travaille donc sur la suite (u
n) de l'énoncé.
Mais que fait-il avec?
L'algorithme est principalement constitué d'une boucle 'tant que'.
Sa condition de poursuite est U<100, ce qui nous donne une condition d'arrêt terminant l'algorithme sur son contraire, U≥100.
L'algorithme recherche donc le rang du premier terme de la suite (u
n) supérieur ou égal à 100.
Dans le contexte de l'énoncé, il recherche donc le rang de l'année 2013+n à partir duquel la bibliothèque disposera d'au moins 100000 livres, la suite (u
n) exprimant en effet ce nombre de livres en milliers.
Question A)3)On nous demande donc ce que répond l'algorithme. Il nous suffit pour cela de le programmer sur notre calculatrice graphique TI-82 à TI-84, Casio Graph/Prizm, ou TI-Nspire/89/92/Voyage200:
La réponse est donc n=27.
C'est donc en 2013+27=2040 que la bibliothèque comportera au moins 100000 ouvrages.
Si jamais vous n'étiez pas à l'aise avec la programmation de votre calculatrice ou tout simplement pour vérifier le résultat précédent, il était aussi possible de définir directement la suite dans la calculatrice et de demander son tableau de valeurs.
Prenons pour commencer une TI-82 à TI-84.
Passons donc en mode
'suite' ou
'sequence' en anglais -
La suite vous est donc définie par une relation de récurrence
un+1=un*0,95+6.
Mais la calculatrice ne vous permet pas de définir le terme de rang n+1 mais uniquement le terme de rang n.
Vous devez donc commencer par réécrire cette relation un rang en-dessous, c'est-à-dire en remplaçant tous les
'n' par des
'n-1'.
Cela nous donne
un=un-1*0,95+6Une fois cette relation établie, il vous suffit d'aller la saisir -
Selon l'état de votre calculatrice, il peut alors être nécessaire de modifier les paramètres du tableau de valeurs, à partir de 0 avec un pas de 1 dans le cas d'une suite -
Et vous pouvez enfin demander le tableau de valeurs -
La réponse est donc bien n=27.
Sur TI-Nspire il vous faut utiliser la même relation.
Dans une application graphique, choisissez un entrée sous forme de suite -
Saisissez alors la relation trouvée plus haut:
Et demandez le tableau de valeurs -
Si vous êtes munis d'une Casio Graph/Prizm, il suffit d'accéder à l'application
'Récurrence' pour y définir notre suite.
Ici, nul besoin de transformer l'expression - on peut saisir directement celle de l'énoncé!
Mais il ne faut surtout pas oublier de préciser la valeur des termes initiaux, et cela se fait dans un autre écran accessible via le menu [SET]:
On y précise également les paramètres de notre tableau de valeurs, que voici enfin, une fois de plus cohérent avec l'affichage du programme!
Attention ici à ne pas se laisser induire en erreur par la légende du tableau.
La calculatrice affiche en effet que a
n+1≈100,47 lorsque n+1=27 soit n=26.
Mais cela veut donc dire que a
26+1≈100,47, soit a
27≈100,47, soit enfin bien a
n≈100,47 pour n=27.
Question B)1)On modifie donc la suite puisque l'on n'ajoute plus que 4000 ouvrages chaque année au lieu de 6000.
La relation de récurrence u
n+1=u
n*0,95+6 devient donc u
n+1=u
n*0,95+4
(qui est en prime cadeau dans l'énoncé de la question B)2) suivante).
Nous allons donc modifier une seule ligne dans l'algorithme, l'affectation récurrente
"U prend la valeur U*0,95+6" qui devient
"U prend la valeur U*0,95+4".
A bientôt! 
Liens:Annales des sujets inédits du BAC ES 2013 et corrigésAnnales des sujets inédits du BAC L 2013 et corrigés
