Ce matin vous découvriez donc le 1er sujet de maths du nouveau BAC S 2013, et ça n'a pas raté puisqu'il contient un algorithme.
Replaçons cette question dans son contexte:
- elle fait partie d'un exercice mélangeant probabilités et suites
- on considère la suite p définie par récurrence par p1=0 et pn+1=0,2pn+0,04
- on a démontré que cette suite avait pour limite 0,05
- l'énoncé nous dit que cette suite est croissante
De façon fort habituelle, l'algorithme implémente cette suite, les valeurs des termes étant stockés dans la variable P.
On a bien en effet:
- en initialisation: P prend la valeur 0
- P prend la valeur 0,2P+0,04
C'est la variable J, initialisée à 1 et incrémentée de 1, qui joue ici le rôle de l'indice.
Pour comprendre ce que réalise un algorithme constitué d'une boucle tant que, il convient de regarder quand est-ce que cette boucle s'arrête.
Elle s'arrête lorsque l'on obtient le contraire de P<0,05-10
-K, c'est-à-dire P≥0,05-10
-K.
Or, on sait de plus que la suite est croissante et a pour limite 0,05. On a donc dans tous les cas P<0,05.
Pour K=2, la suite s'arrête donc au premier terme P vérifiant 0,04≤P<0,05.
Pour K=3, la suite s'arrête donc au premier terme P vérifiant 0,049≤P<0,05.
Pour K=4, la suite s'arrête donc au premier terme P vérifiant 0,0499≤P<0,05.
Etc...
L'affichage final est alors le rang J associé à la valeur de ce terme.
Cet algorithme permet donc d'étudier la convergence de la suite p vers 0,05, et notamment la
'vitesse' de convergence.
Il renvoie l'indice du premier terme étant aussi près que l'on veut de 0,05
(à 10-K près).
Par définition de la convergence de la suite p vers 0,05 on sait que:
pour tout réel a>0, il existe un rang n0 tel que pour tout n≥n0, 0,05-a<p0<0,05+a10
-K qui est bien un réel positif joue le rôle du réel a
(écart à la limite 0,05).
Par définition, on est sûr que l'algorithme se termine: nous rencontrerons forcément pour un certain rang un terme supérieur à 0,05-10
-K qui interrompt alors la boucle tant que.
Liens:BAC S 2013 - Mathématiques Obligatoire (Inde - avril 2013)BAC S 2013 - Mathématiques Spécialité (Inde - avril 2013)BAC S 2013 - Annales des sujets inédits corrigés
