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Limites de suites et fonctions


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Auteur Author: jordandalar
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Mis en ligne Uploaded: 21/04/2017
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites
Soit u une suite réelle.
• Soit ℓ un réel. La suite u a pour limite ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes
de la suite à partir d’un certain rang.
• La suite u a pour limite +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A réel contient tous les
termes de la suite à partir d’un certain rang.
• La suite u a pour limite −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ avec A réel contient tous les
termes de la suite à partir d’un certain rang.
Quand la suite u a une limite réelle, on dit que la suite u converge. Dans le cas contraire, on dit que la suite u diverge.
Théorème des gendarmes. Si u, v et w sont trois suites réelles telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un
certain rang, un 6 vn 6 wn et si les suites u et w convergent vers une limite réelle commune ℓ, alors la suite v converge
et lim vn = ℓ.
n→+∞
Théorème. Toute suite réelle croissante et majorée converge. Toute suite réelle décroissante et minorée converge.
Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers −∞.
Théorème. Soient u et v deux suites telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, un 6 vn .
Si lim un = +∞, alors lim vn = +∞. Si lim vn = −∞, alors lim un = −∞.
n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞
Suites adjacentes. Soient u et v deux suites réelles. u et v sont deux suites adjacentes si et seulement si l’une des deux
croît, l’autre décroît et leur différence tend vers 0.
Théorème. Deux suites adjacentes convergent et ont mêmes limites.
Limites de fonctions
Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]A, +∞[ et ℓ un réel.
• On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes
les valeurs f(x) pour x assez grand.
• On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A
réel contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
• On dit que f(x) tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ avec A
réel contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
On a des énoncés analogues et intuitifs pour toutes les autres situations.
Théorème des gendarmes. Soient I un intervalle de R et a une borne de I (a réel ou infini).
Si f, g et h sont trois fonctions définies sur I telles que, pour tout réel x de I, f(x) 6 g(x) 6 h(x) et si les fonctions f et h
ont vers une limite réelle commune ℓ en a, alors la fonction g a une limite réelle en a et lim g(x) = ℓ.
x→a
Théorème. Soit I un intervalle de R et a une borne de I (a réel ou infini).
Soient f et g deux fonctions définies sur I telles que, pour tout réel x de I, f(x) 6 g(x).
Si lim f(x) = +∞ alors lim g(x) = +∞. Si lim g(x) = −∞ alors lim f(x) = −∞.
x→a x→a x→a x→a
Droites parallèles à un axe de coordonnées asymptotes à une courbe.








a



a est un réel. Si lim f(x) = ±∞, ℓ est un réel. Si lim f(x) = ℓ,
x→a x→±∞
la droite d’équation x = aest asymptote à Cf . la droite d’équation y = ℓest asymptote à Cf en ±∞.


c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés.
1 http ://www.maths-france.fr

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