Chapitre 2 : La programmation linéaire


Introduction
Après avoir déterminé le niveau des ventes en quantité physique et en unité monétaire
on va s'intéresser à la prévision de la production. L'objectif sera de calculer des
coûts prévisionnels.
On utilise la programmation linéaire afin de déterminer l'allocation optimal des
facteurs de production dont on dispose qui permettra d'atteindre un objectif visé.
→ objectifs :
– Maximiser une MCV
– Maximiser un CA
– Maximiser un bénéfice
– Minimiser des coûts
→ contraintes :
– Capacité de production
– Capacités de stockage
– Logistique
– Moyens humains (personnel)
– Législation
– Marché


La programmation linéaire va consister à optimiser une fonction économique compte
tenue d'un ensemble de contraintes qui s'imposent à l'entreprise.
On peu résoudre un problème de programmation linéaire avec des modèles
mathématiques plus ou moins complexes ou avec un tableur.
Nb variables <= 2 → Graphique
Nb variables > 2 → Simplexe
Tableur : tout problèmes




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I. Résolution graphique

1) Formulation du problème

a) Identification des variables économique
x1 : Nombre de X1 à fabriquer
x2 : Nombre de X2 à fabriquer
x1 et x2 → expriment par des fonctions mathématiques : 1 fonction économique à
optimiser et les contraintes.


b) Formulation économique
Fonction économique : il faut maximiser la MCV globale de l'entreprise
MCV = 30x1 + 40x2


c) Formulation des contraintes
1ère contrainte : capacités horaires de l'usinage : max 3 000
2ème contrainte : capacités horaires de production : max 4 500
3ème contrainte : contraintes de marché x1 : 1 600 unités
4ème contrainte :contraintes de marché x2 : 1 800 unités
5ème contrainte : capacité de stockage : 3 400m3


C1 C2 Stockage
x1 1 2,5 1
x2 1,5 1,5 1
MAX 3000 4500 3400

C1 : 1x1 + 1,5x2 <= 3 000 → x1 + 1,5x2
C2 : 2,5x1 + 1,5x2 <= 4 500
C3 : x1 + x2 <= 3 400 cf feuille
C4 : 0 <= x1 <= 1 600
C5 : 0 <= x2 <= 1 800




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 2) Résolution graphique
Graphique cf sommaire

Points x1 x2 FE (MCV)
O 0 0 0
A 0 1 800 72 000
B 300 1 800 81 000
C 1 000 1 333 83 320
D 1 600 333 61 320
E 1 600 0 48 000


C: D1 : x1 + 1,5x2 = 3 000 1,5x2 = 3 000 – 1 000
D2 : 2,5x1 + 1,5x2 = 4 500 x2 = 1 333,33
1,5x1 =1 500 x1 = 1 000
Le point C représente l'optimum


3) Interprétation des résultats
La marge maximale que l'entreprise peut réaliser compte tenu de ses conditions de
production et des contraintes qui en découlent sera de 83 320 €.
Contraintes de marché
x1 : Reste 600 unités
x2 : Reste = 1 800 – 1 333 = 467
Contraintes de stockage
Capacité = 3 400
Volume utilisé : 2 333
Marge : 1 067 m3
Atelier usinage utilisé à 100 %
Atelier assemblage saturé

4) Limites de la méthode
La méthode graphique limite l'analyse de problème faisant intervenir deux variables.
Il faudra donc utiliser le solveur sur le tableur.


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III. Résolution à l'aide du tableur
Application Cas Molaine
1. Coût variable et marge sur coût variable

Éléments Papier Sachets
Atelier pâte 600 400
Atelier finition 400 800
Matières premières 600 350
Coût de production 1600 1550
Coût de distribution 250 250
Charges variables 1850 1800
Chiffre d'affaires 2050 2040
MCV 200 240


x : Nombre de tonnes de papier
y : Nombre de tonnes de sachets
Contraintes de marché : x <= 120
y <= 50
Heures d'atelier
atelier pâte : 3x + 2y <= 360
atelier finition : x + 2y <= 160


Exemple : Société SA Décor (au dos du sommaire du chapitre 2)
235 000 roses rouges
160 000 roses blanches
Un bouquet rouge → 5 rouges + 2 blanches = 6 €
Un bouquet blanc → 3 blanches + 2 rouges = 3 €
Optimiser le CA
x : nombre de bouquets à dominante rouge
y : nombre de bouquets à dominante blanche
Fonction économique à maximiser : CA = 6x + 3y
Contraintes → roses rouges = 5x + 2y <= 235 000 C1 → D1
→ roses blanches = 2x + 3y <= 160 000 C2 → D2
→ x >= 0
→ y >= 0


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 x y
0 117 500
C1
47 000 0
0 53 333
C2
80 000 0


Voir graphique avec le sujet




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