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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: lipasilva
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 21
Taille Size: 1.02 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 22/07/2021 - 18:06:02
Uploadeur Uploader: lipasilva (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

Exercícios resolvidos sobre Função de
probabilidade e densidade de probabilidade
Você aprendeu o que é função probabilidade e função densidade de probabilidade e viu como esses conceitos são
importantes para o estudo estatístico. Estudando esse conjunto de Exercícios Resolvidos, terá mais uma
oportunidade de aprender como os conceitos estudados nesta Unidade se aplicam a situações típicas do dia a dia
das sociedades contemporâneas.
Exercício 1
Visando aprimorar a capacitação do seu quadro de funcionários, uma empresa sorteia mensalmente quatro
colaboradores que vão participar de programas intensivos de treinamento. Nessa empresa, 1/3 dos colaboradores
são mulheres. Estamos interessados na distribuição de probabilidade da variável aleatória “número de
colaboradoras do sexo feminino”. Considerando que o número de funcionários da empresa é suficientemente grande
para que possamos aplicar a distribuição binomial, calcule:

a) qual é a probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher “p(0)” ?

b) qual é a probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher “p(1)” ?

c) qual é a probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(2)” ?

d) qual é a probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(3)” ?

e) qual é a probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres “p(4)” ?
Solução
Enunciado

Visando aprimorar a capacitação do seu quadro de funcionários, uma empresa sorteia mensalmente quatro
colaboradores que vão participar de programas intensivos de treinamento. Nessa empresa, 1/3 dos colaboradores
são mulheres. Estamos interessados na distribuição de probabilidade da variável aleatória “número de
colaboradoras do sexo feminino”. Considerando que o número de funcionários da empresa é suficientemente grande
para que possamos aplicar a distribuição binomial, calcule:

a) qual é a probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher “p(0)” ?

b) qual é a probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher “p(1)” ?

c) qual é a probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(2)” ?

d) qual é a probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres “p(3)” ?

e) qual é a probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres “p(4)” ?

Solução

Neste exercício, devemos descrever toda a distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X =
“número de colaboradoras sorteadas”.




Isso significa que devemos calcular as probabilidades de cada um dos valores que a variável X pode assumir.
Sabemos que a probabilidade de uma colaboradora ser mulher é p =1/3, então:




Aqui vale um comentário importante. Os números que estão multiplicando as probabilidades têm origem na maneira
como se desenha o exercício. Peguemos, por exemplo, o número 4 que está presente na P(x = 3).




Essa multiplicação ocorre porque importa a ordem de acontecimento dos fatores. Além disso, são 4 as maneiras
possíveis dessa ocorrência, ilustradas a seguir.
Agora podemos completar a tabela da função de probabilidade:




Com base nessas informações, basta comparar os resultados obtidos com as afirmações propostas:

A probabilidade de nenhum dos 4 colaboradores ser mulher é de aproximadamente 20%.




A probabilidade de 1 dos 4 colaboradores ser mulher é de aproximadamente 40%



A probabilidade de 2 dos 4 colaboradores serem mulheres é de aproximadamente 30%



A probabilidade de 3 dos 4 colaboradores serem mulheres é próxima de 10%.



A probabilidade de todos os 4 colaboradores serem mulheres é de aproximadamente 1%.
Exercício 2
Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate
branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente, qual será a distribuição da probabilidade
para o número de bombons feitos com chocolate branco?
Solução
Enunciado

Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate
branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente, qual será a distribuição da probabilidade
para o número de bombons feitos com chocolate branco?

Solução

Devemos fazer a descrição completa da distribuição de probabilidades da variável aleatória discreta X = “número
de bombons brancos”.

Sabendo-se que, de 8 bombons de um pacote, 3 são brancos e 5 são meio amargos, vamos calcular as
probabilidades de cada um dos valores que X pode assumir.




Observe que no caso “escolher um meio amargo e um branco”, você deve multiplicar as probabilidades por dois, ou
seja, deve considerar as duas combinações possíveis: “branco, meio amargo” e “meio amargo, branco”.

Portanto, a função de probabilidade da variável aleatória X = “número de bombons brancos” é dada pela tabela a
seguir.
Exercício 3
Enunciado

Uma fábrica de tintas está estudando a aplicação de métodos estatísticos para melhorar a qualidade do seu
processo produtivo. Um dos indicadores importantes de qualidade para a tinta é a sensibilidade à luz, descrita pela
variável aleatória X que apresenta a seguinte distribuição de probabilidade:




Com base nisso, calcule:
Solução
Enunciado

Uma fábrica de tintas está estudando a aplicação de métodos estatísticos para melhorar a qualidade do seu
processo produtivo. Um dos indicadores importantes de qualidade para a tinta é a sensibilidade à luz, descrita pela
variável aleatória X que apresenta a seguinte distribuição de probabilidade:




Com base nisso, calcule:




Solução

a) Como X pode assumir valores de um conjunto finito, trata-se de uma variável aleatória discreta. Sabemos que, a
função de probabilidade deve obedecer à seguinte regra:




b) Sabemos que, no intervalo 2 ≤ X ≤ 6, a variável X pode assumir os valores 5 ou 3, então:




c) A função de repartição ou função de distribuição acumulada, no caso discreto, é calculada por:
Exercício 4
Observe a função de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule as probabilidades de:




a) X ≤ 2
b) 3 ≤ X ≤ 8
c) 1 ≤ X ≤ 7
d) X ≤ 6
e) X > 1
Solução
Enunciado

Observe a função de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule as probabilidades de:




a) X ≤ 2
b) 3 ≤ X ≤ 8
c) 1 ≤ X ≤ 7
d) X ≤ 6
e) X > 1

Solução

Você deve se lembrar que a função de repartição dá a probabilidade acumulada de um determinado valor.

a) X ≤ 2

A probabilidade de X assumir valores de no máximo 2 é o acúmulo das probabilidades de todos os valores até 2.
Este valor é dado pela função de repartição F(x):




b) 3 ≤ X ≤ 8

Uma das propriedades da função de repartição é:




Então,




c) 1 ≤ X ≤ 7

Este item é resolvido da mesma forma que o anterior.
d) X ≤ 6

Este item é semelhante ao item a.




e) X > 1

A função de repartição dá apenas o valor da probabilidade de uma variável assumir valores menores ou iguais a um
determinado valor. Nesse caso, só podemos calcular a probabilidade de X assumir valores menores ou iguais a 1:




Já, a probabilidade de X ser maior que 1 é dada pelo evento complementar:




Essa solução é aceitável, pois se marcarmos os eventos mencionados anteriormente sobre a reta real, veremos que
o espaço amostral fica completamente coberto.
Exercício 5
Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que



a) Para qual valor de k a expressão anterior é uma função de probabilidade?
b) Calcule P(X = 2|X < 3)
Solução
Enunciado

Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0,1,2,3,4,5 e tal que



a) Para qual valor de k a expressão anterior é uma função de probabilidade?
b) Calcule P(X = 2|X < 3)


Solução

Para resolver esse exercício, podemos começar fazendo uma tabela que relacione o valor de p(x) com cada X em
função de k.




a) Sabemos no entanto que :




b) Agora podemos calcular P(X = 2|X < 3)




Nesse ponto vale reforçar que o calculado na expressão anterior é uma probabilidade condicionada. Esse conceito
foi visto em Unidades anteriores. Se você ficou com dúvida na maneira de calcular a probabilidade condicionada,
reveja o conteúdo que trata do tema.
Exercício 6
A transfusão de sangue é uma prática médica que ajuda a salvar muitas vidas. No entanto, para uma transfusão de
sangue ser bem-sucedida, alguns cuidados devem ser tomados. O sangue doado, além de ser testado para evitar a
transmissão de doenças, deve ser de tipo compatível com o tipo sanguíneo do receptor. Esse procedimento é
necessário pois cada organismo aceita ou rejeita o sangue recebido e isso pode causar sérios problemas ao doente.
Podemos considerar uma pessoa que tenha sangue do tipo O- como um “doador universal”. Considerando um
grupo de cinco possíveis doadores, onde somente 2 deles são do tipo O- , se testarmos cada um dos 5
aleatoriamente, até que um dos indivíduos O- seja identificado,qual é a função de probabilidade da variável aleatória
“número de indivíduos testados”?
Solução
Enunciado

A transfusão de sangue é uma prática médica que ajuda a salvar muitas vidas. No entanto, para uma transfusão de
sangue ser bem-sucedida, alguns cuidados devem ser tomados. O sangue doado, além de ser testado para evitar a
transmissão de doenças, deve ser de tipo compatível com o tipo sanguíneo do receptor. Esse procedimento é
necessário pois cada organismo aceita ou rejeita o sangue recebido e isso pode causar sérios problemas ao doente.
Podemos considerar uma pessoa que tenha sangue do tipo O- como um “doador universal”. Considerando um
grupo de cinco possíveis doadores, onde somente 2 deles são do tipo O- , se testarmos cada um dos 5
aleatoriamente, até que um dos indivíduos O- seja identificado, qual é a função de probabilidade da variável aleatória
“número de indivíduo...

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