π
<-
Chat plein-écran
[^]

chap_pdt_sca


Hierarchy of files

 Downloads
 Files created online(25805)
 TI-Nspire
(19974)

 mViewer GX Creator Lua(14348)

DownloadTélécharger


LicenceLicense : Non spécifiée / IncluseUnspecified / Included

 TéléchargerDownload

Actions



Vote :

ScreenshotAperçu


Tester en ligne !

Informations

Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: 1d1don
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 39
Taille Size: 2.02 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 11/06/2021 - 21:00:37
Mis à jour Updated: 11/06/2021 - 21:11:20
Uploadeur Uploader: 1d1don (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2762167

Description 

Séries Cours de mathématiques - PCSI


CHAPITRE 19

Séries



I Introduction, convergence et divergence
1. Définition et premières propriétés
K = R ou K = C.

Définition 1
Soit (un )n∈N une suite d’éléments de K.
La série associée à (un )n∈N ou série de terme général un est la suite (SN )N ∈N définie par :
N
X
∀N ∈ N, SN = uk
k=0
P P P
On note un , un ou un cette série.
n>0 n∈N
N
P
La somme SN = uk est appelée somme partielle de la série.
k=0 P
Si la suite (un ) est définie pour n > n0 (avec n0 ∈ N) alors on note un la série.
n>n0


Exemples :
 n
1
1. un = 2 pour n ∈ N. Alors
 n+1
N  k 1
X 1 1− 2

1

SN = = = 2 1 − n+1
k=0
2 1 − 12 2

N
X 1 − aN +1
2. Pour a , 1, un = an alors SN = ak =
1−a
k=0
1
— Pour a = 2 , SN −−−−−−−→ 2
N →+∞
1−aN +1 1
— Pour a ∈ R avec |a| < 1, SN = 1−a − −−−−−−→ 1−a .
N →+∞
N
1 P 1
3. un = n. Ici SN = k. On dit que (SN )N ∈N∗ est la série harmonique, on a déjà démontré que
k=1
SN −−−−−−−→ +∞.
N →+∞
N
(−1)n−1 P (−1)k−1
4. un = n . Ici SN = k . On dit que (SN )N ∈N∗ est la série harmonique alternée, on démon-
k=1
trera que SN −−−−−−−→ ln(2).
N →+∞
Remarque :
— Expression des un en fonction de SN :
N
P
Si SN = uk alors
k=0
∀n > 1, un = Sn − Sn−1

1/17 Lycée Naval
Séries Cours de mathématiques - PCSI


2. Opérations sur les séries

Définition 2
P P
Soient un et vn deux séries de t.g. un et vn et λ ∈ K. Alors on définit :
P P
— u + vn la série de t.g. (un + vn )n∈N .
Pn
— λ un la série de t.g. (λun )n∈N .


Proposition 1 - Structure
L’ensemble des séries à valeurs dans K muni des deux lois définies ci-dessus est de s.e.v de KN
donc un K-e.v.


Preuve
C’est un sous-ensemble non vide car 0KN est une série et il est clair que c’est un sous-ensemble
stable par addition et par multiplication par un scalaire.


3. Convergence d’une série

Définition 3
P N
P
On dit que la série un converge SSI la suite (des sommes partielles) de t.g. SN = uk converge
k=0
XN
P
Donc un converge SSI ∃L ∈ K, lim uk = L
N →+∞
P k=0 P
Dans ce cas, on dit que la série un converge vers L, L est la somme de la série un et on écrit
+∞
X
un = L
n=0

Si la série ne converge pas on dit qu’elle diverge.
+∞
P
Remarques : ne pas confondre uk qui est la somme d’une série convergente, c’est un réel (ou un com-
P k=0
plexe) et uk qui désigne la série (objet à étudier, comme une suite ou une fonction).
Exemples :
P  1 n +∞
P  1 n
— 2 converge et 2 =2
n=0
+∞
P 1 π2 P 1
— k2
= 6 (admis) donc n2
converge.
k=1
P (−1)n−1 +∞
P (−1)k−1
— n converge et k = ln(2)
k=1


Proposition 2
P
Si la série un converge alors la suite (un )n∈N converge vers 0.

ATTENTION : la réciproque est fausse.



2/17 Lycée Naval
Séries Cours de mathématiques - PCSI


Preuve
P
Soit un une série convergente, L sa limite. Alors
Pn
Sn = uk −−−−−−→ L. Et de même
k=0 n→+∞
n+1
P
Sn+1 uk −−−−−−→ L.
k=0 n→+∞
Donc un = Sn+1 − Sn −−−−−−→ L − L = 0.
n→+∞


Remarque :
P
— Si (un )n∈N n’admet pas 0 pour limite alors la série un diverge.
P
— Influence du rang initial : un est la série associée à la suite (un )n>n0 et la somme partielle
n>n0
n
P
d’ordre n s’écrit uk . Alors
k=n0


Proposition 3 (non influence des premiers termes sur la CV)
Soit n0 ∈ N.
P P
— Si la suite un converge alors un converge
P n>n0 P
— s’il existe p0 ∈ N, tel que un converge alors un converge.
n>p0


Preuve
N N
P 0 P
Posons, pour N > p : SN = uk et Sp,N = uk .
k=0 k=p
0
Alors SN = Sp−1 + Sp,N .
P 0 0
— Si un converge alors ∃L ∈ K, SN −−−−−−→ L ∈ K donc Sp,N −−−−−−→ L−Sp−1 donc Sp,N converge.
n→+∞ n→+∞
un converge alors ∃L0 ∈ K, Sp0 0 ,N −−−−−−→ L0 alors SN −−−−−−→ L0 + Sp0 −1 donc (SN )N ∈N
P
— Si
n>p0 n→+∞ n→+∞
converge.



Proposition 4 - Opérations sur les séries convergentes.
Si les séries un et vn conve...

Archive contentsContenu de l'archive

Action(s) SizeTaille FileFichier
1.64 Ko KB readme.txt
611.11 Ko KB chap_pdt_sca/01-10.tns
455.81 Ko KB chap_pdt_sca/31-39.tns
568.46 Ko KB chap_pdt_sca/11-20.tns
510.61 Ko KB chap_pdt_sca/21-30.tns

Pub / Ads

-
Search
-
Social
-
Featured topics
Comparaisons des meilleurs prix pour acheter sa calculatrice !
Découvre les nouvelles fonctionnalités en Python de l'OS 5.2 pour les Nspire CX II
Découvre les nouvelles fonctionnalités en Python de l'OS 5.5 pour la 83PCE/84+C-T Python Edition
Omega, le fork étendant les capacités de ta NumWorks, même en mode examen !
1234
-
Donations / Premium
For more contests, prizes, reviews, helping us pay the server and domains...
Donate
Discover the the advantages of a donor account !
JoinRejoignez the donors and/or premium!les donateurs et/ou premium !


Partner and ad
Notre partenaire Jarrety Calculatrices à acheter chez Calcuso
-
Stats.
697 utilisateurs:
>663 invités
>27 membres
>7 robots
Record simultané (sur 6 mois):
6892 utilisateurs (le 07/06/2017)

-
Other interesting websites
Texas Instruments Education
Global | France
 (English / Français)
Banque de programmes TI
ticalc.org
 (English)
La communauté TI-82
tout82.free.fr
 (Français)