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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: lucie b
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 7
Taille Size: 567.56 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 04/05/2021 - 20:25:36
Uploadeur Uploader: lucie b (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2734701

Description 

MODELISATION EN INFORMATIQUE


La morphogénèse détermine le développement des formes d’un organisme vivant.
Dans l’intention d’appréhender la morphogénèse et donc l’émergence de structures
spatialement organisées voire répétées (allant des rayures sur le pelage d’un zèbre jusqu’à la
phase dite de gastrulation dans le développement de l’embryon…) dans un milieu initialement
homogène, on observera l’effet du couplage entre une réaction chimique incluant au moins
une étape autocatalytique et la diffusion relevant de la loi de Fick ainsi que le rôle des
fluctuations.
L’étude comporte deux parties et un document.

Première partie :
On étudie une réaction chimique dont le bilan est A + B → C + D (R)
Conformément au modèle dit du Brusselator, modèle hypothétique de réaction autocatalytique
proposé par Ilya Prigogine (prix Nobel 1977) de l’université de Bruxelles, la réaction (R) est décomposée
en plusieurs étapes, chacune possédant sa constante cinétique ki (i = 1,2,3,4) :

A X (k1)

2X + Y 3X (k2)

B+X Y + C (k3)

X D (k4)

Dans cette première partie, on agite le milieu réactionnel (par exemple via un barreau aimanté rotatif)
de sorte à uniformiser les concentrations des différentes espèces présentes en solution.

1. Qu’entend-on par réaction autocatalytique et qu’en penser dans le modèle du Brusselator ?

2. Chaque étape mentionnée dans le modèle du Brusselator relève d’un processus cinétique qualifié
d’élémentaire.
????[????]
2.1. En déduire l’expression de la vitesse volumique de disparition ????(????) = − ????????
= ????1. ???? de l’espèce
A en fonction de k1 et [A].

En déduire enfin l’expression de [????](????) en fonction du temps sachant que [????](???? = 0) = ????????.
A(t) = Ao.exp(-k1.t)=Ao.exp(-t/tau)
On introduira une constante de temps ???? que l’on exprime en fonction de k1.

2.2. Que peut-on affirmer quant à [A](t) si Ao >> Bo avec Bo = [B](t=0) ? A(t) #Ao.
????[????]
2.3. Déterminer également les expressions des vitesses volumiques de formations ????(????) = et
????????
????[????]
????(????) = ????????
des composés X et Y en fonction de ki (i = 1,2,3,4), [A], [B], [X], [Y].

dX/dt= k1.A – 2.k2.X**2.Y+ 3k2.X**2.Y- k3.B.X- k4.X = k1.A + k2.X**2.Y- k3.B.X- k4.X

dY/dt = - k2.X**2.Y + k3.B.X



1/10
Par la suite, on suppose que les concentrations en réactifs (espèces A et B) sont constantes au cours
du temps (pour ce faire, on peut introduire A en excès et ajoute B au fur et à mesure de sa
consommation via (R), cette opération étant bien évidemment délicate à réaliser en pratique…).



3. Vérifier, en utilisant le 2.3., qu’il existe un régime stationnaire (S) (donc indépendant du temps)
satisfait par les intermédiaires réactionnels (espèces X, Y) tel que :
????1 ????3 ????4 [????]
[????]???? = [????] ???????? [????]???? =
????4 ????2 ????1 [????]
Par la suite, et dans un souci de simplification, on procède à un changement de variables tel que :
???? ????
???? ′ = [????]. √????2 /????4 , ???? ′ = [????]. √????2 /????4 ; ???? = [????]. ????1 . √????2 /????4 ; ???? = [????]. ????3 et ???? ′ = ????4 . ????
4 4

- En déduire que les relations établies au 2.3. admettent alors pour écriture simplifiée :
???????? ′ 2
= ???? + ???? ′ ???? ′ − (???? + 1)???? ′ (1)
????????′
???????? ′ 2
= −???? ′ ???? ′ + ???????? ′ (2)
????????′
- Montrer que, en régime stationnaire, ????????′ = ???? et ????????′ = ????/????.

4. Les équations couplées (1) et (2) n’admettent pas de solution analytique et de ce fait font l’objet
d’une résolution numérique faisant ici appel à la méthode des différences finies (MDF).
???????? ′ ???????? ′
Proposer une formulation des grandeurs ???????? ′
et ???????? ′ dans le formalisme (MDF).

Pour ce faire, on posera « h » le pas temporel. X’ ou Y’ ne pourront être définis qu’en des instants
discrets ????????′ = ????ℎ, la durée totale d’observation étant T’ = nh.

???????? ′ ????????+1 − ????????′

???????? ′ ℎ
5. On a représenté X’(t) en fonction du temps dans différents cas, avec, pour conditions initiales,
X’(0)=Y’(0)=0 :

➔ ???? = 1, ???? = 1.5 figure 1
➔ ???? = 1, ???? = 2.2 figure 2

5.1. Quel commentaire peut-on faire au regard de la figure 1 ?

5.2. Que vous évoque la figure 2 ? Quelle application peut-on y trouver ?

6. Transition ou bifurcation de Hopf :

On suppose que le système occupe initialement son état stationnaire ( ????????′ = ???? et ????????′ = ????/???? ).
En raison du caractère aléatoire du mouvement des molécules, dicté par l’agitation thermique, les
grandeurs locales (pression, concentrations etc…) font l’objet d’infimes fluctuations.
Ces fluctuations écartent donc très faiblement le système de son état stationnaire en l’amenant par
exemple dans l’état (????????′ = ???? + ???? ???????????????? ???? ≪ ????, ????????′ = ????/????).
L’évolution du système alors faiblement écarté de son état stationnaire introduit une valeur critique
???????? pour ???? telle que ???????? = 1 + ???? 2 .


2/10
Par exemple, avec ???? = 1, on a représenté X’(t) en fonction du temps dans différents cas, avec, pour
conditions initiales, X’(0)=????+???? et Y’(0)=b/ ???? avec ???? = 0.000001 << ????
➔ ???? = 1, ???? = 1.5 < ???? c figure 3
➔ ???? = 1, ???? = 2.2 > ???? c figure 4

Discuter de la stabilité de l’état stationnaire selon que ???? < ???????? ou bien ???? > ???????? .
La bifurcation de Hopf correspond au changement de comportement du système au passage par ???????? .

Seconde partie :
Dans cette partie, on cesse d’agiter le milieu, éliminant ainsi la convection. On choisit de se placer dans
le cas où ???? < ???????? . Les concentrations des différentes espèces alors présentes sont supposées uniformes,
égales à ????????′ et ????????′ établis en première partie.

L’agitation thermique, voire d’autres facteurs externes, induisent des fluctuations locales en
concentrations. Dès lors, les concentrations des différentes espèces ne sont plus rigoureusement
uniformes et un processus de diffusion moléculaire opère.



On considère ici une cuve rectiligne, de section droite S, longueur L=100 cm selon l’axe Ox.




0 L x


On pose [X](x, t) (en mol/L) et DX (supposé constant) respectivement la concentration molaire et
coefficient de diffusion de l’espèce X.
De-même, on pose [Y](x,t) (mol/L) et DY (supposé constant) respectivement la concentration molaire
et coefficient de diffusion en l’espèce Y.

1. Rappeler l’expression de la loi de Fick et l’adapter pour les espèces X et Y dans le cas présent.
Remarque : dans la loi de Fick, on fera plutôt usage de la concentration molaire (mol/L) (par exemple,
[X](x, t) pour l’espèce X) au lieu de la densité volumique n(x, t) en molécules (par exemple, nX (x,t) de
l’espèce X (en m-3))
????[????] ????[????]
????⃗ = −???????? . ????????
.????
⃗⃗???? = ???????? . ????
⃗⃗???? avec ???????? = −???????? . ????????
idem pour Y…



2. Sachant que le milieu où X est amené à diffuser est le siège d’une réaction chimique (????) qui produit
????[????](????,????)
???????? (????, ????) = ( ) moles en l’espèce X par unité de temps et de volume (cf première partie),
???????? ????
montrer au travers d’un bilan que l’on détaillera avec soin, que [X](x,t) satisfait à l’équation locale :

????[????](????, ????) ???? 2 [????]
= ???????? . + ???????? (????, ????)
???????? ???????? 2



3/10
- On précise en premier le syst...

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