TSI2 Lycée de Cachan
Mathématiques 2020/2021 - J. Aurouet
- Équations diérentielles ordinaires -
I désigne un intervalle de R sur lequel les coecients fonctionnels sont dé-
nies et continues.
J désigne un intervalle inclus dans I sur lequel le coecient fonctionnel
dominant a ne s'annule pas.
Prop : Comme dans le programme (de maths) les équations sont toujours
linéaires, l'ensemble des solutions est un R-espace vectoriel et sa dimension est
toujours l'ordre de l'EDO ou le format du système diérentiel.

 D'ORDRE 1, COEFF FONCTIONNELS, AVEC 2ND MEMBRE :
(E) : ay 0 + by = f, a, b, f ∈ C 0 (I, R).
→ On se place sur J où a ne s'annule pas et on réduit l'équation :
b f
(E) ⇐⇒ y 0 + y = .
sur J a a
→ On résout l'équation homogène associée (H) : y 0 + ab y = 0.
→ On cherche une primitive A de ab sur J .
→ Les solutions de (H) sont yH : t 7→ Ke−A(t) avec K ∈ R.
→ On cherche une solution particulière y0 de (E).
→ Penser au principe de superposition si le second membre est une somme.
→ D'abord on cherche y0 sous une forme simple (constante, ane, poly-
nomiale, trigonométrique ...). Si on trouve pas :
→ Méthode de la variation de la constante : on la cherche sous la forme
y0 (t) = K(t)e−A(t) , et on sait que le calcul aboutira toujours à :
K 0 (t) = fa(t)
(t) A(t)
e (pourvu que l'on puisse intégrer cette expression).
→ Les solutions de (E) sont y = y0 + yH .

 D'ORDRE 2, COEFF CONSTANTS, SANS 2ND MEMBRE :
(E) : ay 00 + by 0 + cy = 0, a, b, c ∈ R3 .
On résout ar2 + br + c = 0.
→ S'il y a deux solutions réelles distinctes r1 et r2 les solutions de (E) sont :
y : t 7→ Aer1 t + Ber2 t , (A, B) ∈ R2 .
→ S'il y a une solution double r0 les solutions sont :
y : t 7→ (A + tB)er0 t , (A, B) ∈ R2 .
→ S'il y a deux solutions complexes (elles sont conjuguées) α + iβ et α − iβ :
y : t 7→ eαt (A cos(βt) + B sin(βt)), (A, B) ∈ R2 .

 ... AVEC SECOND MEMBRE DE LA FORME P (t)eωt :
(E) : ay 00 + by 0 + cy = P (t)eωt ω ∈ R, P ∈ R[X].
→ On pose y(t) = z(t)e puis on remplace y dans (E) pour faire apparaître
ωt

une équation plus simple en z (le second membre devrait alors être poly-
nomiale)


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 SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS AVEC A DIAGONALISABLE : X 0 = AX .
→ On diagonalise A (il faut D et P , donc il faut χA et les sep).
→ On pose Y = P −1 X (le calcul de P −1 est inutile) alors :
X 0 = AX ⇐⇒ P Y 0 = P DP −1 P Y ⇐⇒ Y 0 = DY (facile à résoudre).
→ On trouve X en posant X = P Y (donc il nous faut juste P ).
Thrm : Sans résoudre le système, on sait que :
Si ∀λ ∈ SpC (A), Re(λ) < 0 alors lim X(t) = 0Rn .
t→+∞

 SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS AVEC A TRIANGULAIRE :
→ On résout les lignes du système une à une depuis la dernière en réinjectant
la solution trouvée dans la ligne précédente que l'on résout comme une EDO
d'ordre 1 avec second membre.
 D'ORDRE n, COEFF CONSTANTS, SANS SECOND MEMBRE :
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0, (ai )0≤i≤n ∈ Rn+1 .
On résout an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 = 0.
→ Astuce : Si on trouve des racines λ1 , ...λn , distinctes deux à deux, alors
on sait déjà que les solutions sont de la forme :
y(t) = A1 eλ1 t + · · · + An eλn t , (Ai )1≤i≤n ∈ Rn .
→ Pour le démontrer ou dans le cas contraire, il faut passer au système équi-
valent X 0 = AX où X = (y, y 0 , ..., y (n−1) ) et le résoudre, sachant que l'on
a déjà χA (X) = an X n + · · · + a1 X + a0 , et qu'il est inutile de calcu-
ler P puisque les solutions générales y sont la première ligne de X soit
simplement une combinaison linéaire des composantes de Y .

 D'ORDRE 2, COEFF FONCTIONNELS, AVEC 2ND MEMBRE :
(E) : ay 00 + by 0 + cy = f, a, b, c, f ∈ C 0 (I, R).
Pas de méthode générale ! Mais dans certains cas on a :
Méthode de Lagrange : Si on connaît une solution z0 de l'équation homo-
gène on pose y = z0 z et on fait apparaître une solution d'ordre 1 en Z = z 0 .
Méthode du Wronskien : Si on connaît deux solutions z1 et z2 de l'équation
z1 (t0 ) z2 (t0 )
homogène telle que W (t0 ) = 6= 0 (en un t0 ∈ J quelconque
z10 (t0 ) z20 (t0 )
car W (t) est le produit de W (t0 ) par une exponentielle), alors on cherche les
solutions sous la forme : y(t) = λ(t)z1 (t) + µ(t)z2 (t) où λ, µ ∈ C 1 (J, R) et telles
que : ! (
λ0 (t)z1 (t) + µ0 (t)z2 (t) = 0
 0
0
 
z1 (t) z2 (t) λ (t)
= f (t) ⇐⇒ (t) .
0 0
z1 (t) z2 (t) 0
µ (t) a(t) λ0 (t)z10 (t) + µ0 (t)z20 (t) = fa(t)

Reste à intégrer les solutions λ0 et µ0 sur J pour trouver λ et µ puis y .
Méthode du changement de variable : on pose t = ϕ(x) et z(x) = y(ϕ(x))
et on tente de simplier l'équation. Attention, ϕ doit être de classe C 2 , stricte-
ment monotone et à valeurs dans J (où a ne s'annule pas).

 THÉORÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ : Un problème de Cauchy est une
EDO avec conditions initiales (en nombre égal à l'ordre de l'EDO ou au for-
mat du système diérentiel). Ce théorème assure l'existence et l'unicité d'une
solution sur tout intervalle J où a ne s'annule pas.

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