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Auteur Author: mahe974
Type : Classeur 3.6
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Mis en ligne Uploaded: 17/04/2021 - 06:14:38
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Téléchargements Downloads: 21
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725201
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Description
Chap 5 : Séries de fonctions
Chap 5 : Séries de fonctions
I. Convergence simple
( X , d ) espace métrique, E evn
1
Série géom : z n , z | z | 1 : CV de somme | z | 1 DV
1 z
an
Série exponentielle : ( A, ) algèbre de Banach, a A n! CV (car ACV)
zn
Logarithme complexe : ( Log (1 z ) pour z D(0,1)) | z | 1 ACV, z 1 DV, | z | 1, z 1 CV (Abel)
n
zn
Pour z ei , ln 2sin i
n 1 n 2 2 2
1 1
( z) CV si Re( z ) 1 ( z) ACV pour Re( z ) 0
n 1 n
z
z 1
II. Modes de convergence
C'est celui des sommes partielles : un CVU U n CVU
(I )
(un ) F ( X , E ) un CVU un CVS et la suite des restes Rn ( x) u ( x) CVU vers 0
k n 1
n
Critère de Cauchy uniforme (CCU) : un série de fonctions X E
m
un CVU 0, n , m n n , x X , u ( x)
k n 1
k
Condition suffisante si E est complet
qn
Négation : 0, pn qn croissant vers , ( xn )n X , n , u (x )
k pn
k n
// HP //
(un ) C ( X , E ) avec E complet. u n CVU sur A X , un CVU sur A
u n série de fonctions X E u n converge normalement lorsque un
CV
En pratique : ( n ) , n , x X , un ( x) n et n CV
E complet : CVN CVU
x X , n ( x) et n ( x) 0
// HP //
Méthode d'Abel : ( n ),(vn ) F ( X , ) tq n
x X , vn ( x) et v ( x)
k est bornée
k 0
k vk CVS Si n CVU vers 0, k vk CVU
III. Propriétés de la somme
(un )n F( X , E) , a X tq n, un C en a. S'il existe U V(a) sur lequel un CVU, la sommeun est C en a
est C sur {z ,Re( z) 1}
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 5 : Séries de fonctions
Interversion des limites : A X , a A, (un ) n F ( X , E ) . Si un CVU sur A, n , lim un ( x) n
x a
xA
et E est complet : n CV et f un possède une limite n en a : lim fn ( x) lim fn ( x)
n 0 n 0
x a x a
xA n 0 n 0 xA
1
{rn }n , un ( x) 0 si x rn , n
si x rn : f un , est strictement croissante et l'ens. de ses pts de discont° est
2 n 0
u CVU vers u C pm ([a, b], ) un CV de somme u
b b
(un )n C pm ([a, b], p
) n a a
(un ) C ([a, b],
1 p
) u (a) CV et u
n n ' CVU sur [a, b], de somme V
un CVU sur [a, b] de somme U C 1 , avec U ' V
(k )
Extension : un CVS sur [a, b], k 1, p , u CVU sur [a, b] un est C , un
(k )
n
p
un( k )
n 0 n 0 n0
Sur un intervalle I non compact, on travaille sur les segments inclus dans I
1 1
x ]1, [, ( x) est de classe C sur ]1; [ ( x) ~ x1 lim ( x) 1
n 1 n
x
x 1 x
x ( x) e n x est de classe C sur ( x) ~ 0 ...
Chap 5 : Séries de fonctions
I. Convergence simple
( X , d ) espace métrique, E evn
1
Série géom : z n , z | z | 1 : CV de somme | z | 1 DV
1 z
an
Série exponentielle : ( A, ) algèbre de Banach, a A n! CV (car ACV)
zn
Logarithme complexe : ( Log (1 z ) pour z D(0,1)) | z | 1 ACV, z 1 DV, | z | 1, z 1 CV (Abel)
n
zn
Pour z ei , ln 2sin i
n 1 n 2 2 2
1 1
( z) CV si Re( z ) 1 ( z) ACV pour Re( z ) 0
n 1 n
z
z 1
II. Modes de convergence
C'est celui des sommes partielles : un CVU U n CVU
(I )
(un ) F ( X , E ) un CVU un CVS et la suite des restes Rn ( x) u ( x) CVU vers 0
k n 1
n
Critère de Cauchy uniforme (CCU) : un série de fonctions X E
m
un CVU 0, n , m n n , x X , u ( x)
k n 1
k
Condition suffisante si E est complet
qn
Négation : 0, pn qn croissant vers , ( xn )n X , n , u (x )
k pn
k n
// HP //
(un ) C ( X , E ) avec E complet. u n CVU sur A X , un CVU sur A
u n série de fonctions X E u n converge normalement lorsque un
CV
En pratique : ( n ) , n , x X , un ( x) n et n CV
E complet : CVN CVU
x X , n ( x) et n ( x) 0
// HP //
Méthode d'Abel : ( n ),(vn ) F ( X , ) tq n
x X , vn ( x) et v ( x)
k est bornée
k 0
k vk CVS Si n CVU vers 0, k vk CVU
III. Propriétés de la somme
(un )n F( X , E) , a X tq n, un C en a. S'il existe U V(a) sur lequel un CVU, la sommeun est C en a
est C sur {z ,Re( z) 1}
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 5 : Séries de fonctions
Interversion des limites : A X , a A, (un ) n F ( X , E ) . Si un CVU sur A, n , lim un ( x) n
x a
xA
et E est complet : n CV et f un possède une limite n en a : lim fn ( x) lim fn ( x)
n 0 n 0
x a x a
xA n 0 n 0 xA
1
{rn }n , un ( x) 0 si x rn , n
si x rn : f un , est strictement croissante et l'ens. de ses pts de discont° est
2 n 0
u CVU vers u C pm ([a, b], ) un CV de somme u
b b
(un )n C pm ([a, b], p
) n a a
(un ) C ([a, b],
1 p
) u (a) CV et u
n n ' CVU sur [a, b], de somme V
un CVU sur [a, b] de somme U C 1 , avec U ' V
(k )
Extension : un CVS sur [a, b], k 1, p , u CVU sur [a, b] un est C , un
(k )
n
p
un( k )
n 0 n 0 n0
Sur un intervalle I non compact, on travaille sur les segments inclus dans I
1 1
x ]1, [, ( x) est de classe C sur ]1; [ ( x) ~ x1 lim ( x) 1
n 1 n
x
x 1 x
x ( x) e n x est de classe C sur ( x) ~ 0 ...