Dernière mise à jour Actions dynamiques des liaisons et Denis DEFAUCHY
10/02/2021 équations différentielles du mouvement Résumé




Actions dynamiques des
liaisons et équations
différentielles du mouvement




Programme - Compétences
Choix des isolements
Choix des méthodes de résolution
C12 RESOUDRE
Actions mécaniques dans les liaisons
Equations différentielles du mouvement
Caractéristiques d’inertie d’un solide indéformable (masse, opérateur
d’inertie)
B212 MODELISER
Lien entre forme de la matrice d’inertie et géométrie du solide associé
Signification des termes de la matrice d’inertie
Modélisation dynamique des solides
Torseur cinétique et dynamique et énergie cinétique d’un solide ou
B223 MODELISER système de solides
Puissances des actions intérieures et extérieures par rapport à un
référentiel galiléen
Principe fondamental de la dynamique et théorème de l’énergie cinétique
B224 MODELISER pour la détermination d’actions de liaisons et d’équations différentielles du
mouvement



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Caractéristiques des solides



Masse

????ሺ????ሻ = න ???????? = න ????ሺ????ሻ????????
???? ????



Centre de gravité ou d’inertie d’un solide
Méthode Intégrale
Méthode sous-volumes
ሬሬሬሬሬሬԦ???????? = 0
න ???????? ሬԦ
????
???? = ????1 ∪ ????2 ∪ … ∪ ????????
1
ሬሬሬሬሬԦ =
???????? ሬሬሬሬሬሬԦ ????????
න ???????? ???????? ∩ ???????? = Ø ∀???? ≠ ????
???? ????
1 1 1 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ1 + ????2 ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
????1 ???????? ????????2 + ⋯ + ???????? ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
????????????
???????? = න ???????????? ???????? = න ???????????? ???????? = න ???????????? ሬሬሬሬሬԦ =
????????
???? ???? ???? ???? ???? ???? ????1 + ????2 + ⋯ + ????????

Si ???? = ???????????? : Masses négatives pour formes creuses
Remplacer ???? par ???? et ???????? par ????????
???? est sur les éléments de symétrie volumique




Moments d’inertie d’un solide

Moment d’inertie par rapport au point O

ሬሬሬሬሬሬԦ2 ???????? = නሺ???? 2 + ???? 2 + ???? 2 ሻ????????
???????? = න????????
???? ????

Moment d’inertie par rapport à l’axe ∆

????∆ = න????ሺ????ሻ2 ????????
????

Théorème de Huygens :

????∆ ሺ????ሻ = ????∆???? ሺ????ሻ + ????ሺ????ሻ???? 2
⇒ ????∆ ሺ????ሻ ≥ ????∆???? ሺ????ሻ
Moments d’inertie par rapport aux axes du repère

???????????? = නሺ???? 2 + ???? 2 ሻ???????? ???????????? = නሺ???? 2 + ???? 2 ሻ???????? ???????????? = නሺ???? 2 + ???? 2 ሻ????????
???? ???? ????




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Opérateur d’inertie d’un solide

????ሺ????, ????ሻ???? ሬሬሬሬሬሬԦ⋀൫????
ሬԦ = න???????? ሬሬሬሬሬሬԦ ൯????????
ሬԦ⋀????????
????
ሬሬሬሬԦ,
Soit ???????? une base ሺ???? ???? ሬሬሬሬԦ,
???????? ሬሬሬሬԦሻ
???????? liée au solide S étudié et A l’origine du repère

‫ۍ‬නሺ???? 2 + ???? 2 ሻ???????? − න???????????????? ‫ې‬− න????????????????
‫???? ێ‬ ???? ‫ۑ‬ ????
???? −???? −????
‫ێ‬ 2 2 ‫ۑ‬
????ሺ????, ????ሻ = ‫ ێ‬− න???????????????? නሺ???? + ???? ሻ???????? − න???????????????? ‫ = ۑ‬൥−???? ???? −???? ൩
???? ???? ????
‫ێ‬ ‫ۑ‬ −???? −???? ???? ????????
‫ ێ‬− න???????????????? − න???????????????? නሺ???? + ???? 2 ሻ????????‫ۑ‬
2
‫ۏ‬ ???? ???? ???? ‫????????ے‬

Théorème de Huygens généralisé On voit 3 théorèmes de Huygens pour le
???? ???????? déplacement des moments d’inertie
ሬሬሬሬሬԦ = ????????
???????? ሬሬሬሬԦ???? + ????????ሬሬሬԦ???? = ቈ????቉
ሬሬሬԦ???? + ???????? autour des axes ሺ????, ???? ???? ሺ????, ሬሬሬԦሻ
ሬሬሬԦሻ, ???????? et ሺ????, ????ሬሬሬԦሻ
????
???? ???????? = ???????? + ????ሺ???? + ???? ሻ = ???????????? + ????????????2
???? ???? 2 2
????2 + ????2 −???????? −???????? ???? ???? ????
???????? = ???????? + ????ሺ????2 + ???? 2 ሻ = ???????? + ????????????2
????ሺ????, ????ሻ = ????ሺ????, ????ሻ + ???? ൥ −???????? ????2 + ???? 2 −???????? ൩
−???????? −???????? ???? 2 + ???? 2 ???????? ???????????? = ???????????? + ????ሺ????2 + ???? 2 ሻ = ???????????? + ????????????2

2 2
???? ????′ ????2 + ???? 2 −???????? −???????? ????′ + ???? ′ −????′ ????′ −????′ ???? ′
ሬሬሬሬሬԦ
???????? = ቈ????቉ ; ሬሬሬሬሬሬሬԦ
????′ ???? = ൥????′ ൩ ; ???? = ൥ −???????? ????2 + ???? 2 ′
−???????? ൩ ; ???? = ቎ −????′ ????′ ????′ 2 + ???? ′ 2 −????′ ???? ′ ቏
???? ???????? ???? ′ ???????? −???????? −???????? ????2 + ????2 ???????? −????′ ???? ′ −????′ ????′ ???? + ????′ 2 ????????
′2

????ሺ????′ , ????ሻ = ????...