Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. Denis DEFAUCHY
30/09/2020 diff. du 1° et 2° ordre Cours




Systèmes régis par une
équation différentielle du 1°
et du 2° ordre




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Système asservi
MESURE – ECART – CORRECTION




Chaîne d'action

Résultat de l'action
Informations concernant
REFLEXION ACTION
la tâche à effectuer


OBSERVATIONS


Chaîne de retour

Perturbations
Régulateur
Comparateur
Consigne  Commande Actionneur Système Sortie
+ Correcteur
- dynamique



mesure
Capteur


Définitions
SYSTEME en SLCI Ensemble pouvant être décrit par des équations
CONTINU/ANALOGIQUE Grandeurs connues à chaque instant
Grandeurs mesurées en des points généralement espacés dans le
DISCRET/NUMERIQUE
temps
REGULATION Consigne constante
SUIVI Consigne variable
LINEAIRE ????(????????1 + ????????2 ) = ????????(????1 ) + ????????(????2 )
INVARIANT Même comportement à deux moments différents – Non-vieillissement
Précision statique (entrée échelon) ou dynamique
PERFORMANCES
Rapidité – Stabilité – Dépassement
NON LINEARITES Seuil – Saturation – Hystérésis – Courbure
ENTREES CLASSIQUES Impulsion/Dirak – Echelon/Heaviside – Rampe – Sinusoïdale



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Formalisme de Laplace
Définition
+∞
????(????) = ℒ(????(????)) = ∫ ????(????)???? −???????? ????????
0

ℒ −1 (????(????)) = ????(????)

[????(????)] = [????(????)] ∗ ????

Utilité

Résolution d’équations différentielles du type :

???????? ????(????) ????????(????) ???????? ????(????) ????????(????)
???????? ????
+ ⋯ + ????1 + ????0 ????(????) = ???????? ????
+ ⋯ + ????1 + ????0 ????(????) ; ????<????
???????? ???????? ???????? ????????

Méthode temporelle classique




Méthode Laplace

Mise en place d’une fraction de polynômes dans Laplace (CIN) :

???????? ???????? + ⋯ + ????1 ???? + ????0
????(????) = ????(????)
???????? ???????? + ⋯ + ????1 ???? + ????0

Remplacement de ????(????) par sa fonction dans Laplace, décomposition en éléments simplets et
application des transformées de Laplace inverses.

Eq différentielle Transformée de Fonction polynomiale
avec 2ème membre Laplace en p
Paramètre t Paramètre p




Solution finale Transformée de Fraction décomposée
Laplace inverse en éléments simples
Paramètre t Paramètre t en p




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Transformées usuelles – Propriétés - Théorèmes


Transformée de Laplace
Allure Fonction ????(????) Pôles de ????(????)
????(????) = ????(????(????))

????→????(????)
1 RAS
Impulsion de DIRAC

????→????(????) = ????(????) 1
????(????) = 0
Echelon unitaire ????


????→????(????) = ????????(????) 1 0
Rampe ????(????) =
????2 Double


????→????(????) = ???? ???? ????(????) ????! 0
????(????) =
Fonction puissance ????????+1 D’ordre ???? + 1


????→????(????) = ???? −???????? ????(????) 1
????(????) = −????
Exponentielle ????+????

1
????→????(????) = ???????? −???????? ????(????) ????(????) =
(???? + ????)2 −????
???? ????−1 −????????
????→????(????) = ???? ????(????) 1 Multiple
(???? − 1) ????(????) =
(???? + ????)????

????→????(????) = sin ???????? ????(????) ????
????(????) = ±????????
Sinus ????2 + ????2



????→????(????) = cos ???????? ????(????) ????
????(????) = ±????????
Cosinus ????2 + ????2

????
????→????(????) = ???? −???????? sin ???????? ????(????) ????(????) =
(???? + ????)2 + ???? 2 −???? ± ????????
Sinus amorti
???? Multiple
????→????(????) =? ? ? ????(????) =
[(???? + ????)2 + ???? 2 ]????
????+????
????→????(????) = ???? −???????? cos ???????? ????(????) ????(????) =
(???? + ????)2 + ???? 2 −???? ± ????????
Cosinus amorti
????+???? Multiple
????→????(????) =? ? ? ????(????) =
[(???? + ????)2 + ???? 2 ]????


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????→????(????) ????(????)
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