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Mis à jour Updated: 17/04/2021 - 06:09:35
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725195
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Description
Chap 2 : Séries numériques
Chap 2 : Séries numériques
I. Généralités
ou
n
Une série à valeur dans est un couple (un ,U n ) où (un )n et n , U n uk
k 0
(un ) est le terme général de la série, (U n ) la suite des sommes partielles. On note un pour (un ,U n )
La série décalée à l'ordre p de un est vn où n , vn un p
L'ensemble des séries muni des lois naturelles est un ev
u n série de terme général dans
n
un converge si la suite U n uk converge. La limite de U n est la somme de la série U un
k 0 n 0
u n diverge si la suite (U n ) diverge
On dit que un et vn sont de même nature lorsque (un converge ssi vn converge)
n
um série convergente de somme U . Le reste d'ordre n de um est Rn um uk U U n m0 k 0
u
m k 1
m
(I )
Equivalence suite-série : (un )n converge (un1 un ) converge
Divergence grossière : un converge (un )n 0
Une sombinaison linéaire de séries convergentes converge. CV DV DV (/! DV DV ?)
1 n
q q (1 q) q q 1
(I ) n 1
n
converge ssi | q | 1 somme :
n
1 q n 0 n 0 n 0
II. Séries à termes positifs
(un )n
u n série à termes positifs : U n croît
u n converge ssi (U n )n est majorée
u n diverge ssi (U n )n
u série à termes positifs
n
injection de dans , et (vn ) n (u ( n ) ) n : u n CV vn CV de somme V U
bijection de dans , et (vn )n (u ( n ) ) n : u n CV vn CV, les sommes sont les mêmes
n
extraction. (un )n ,U n uk (U n ) CV (U ( n ) ) CV
k 0
u n et vn séries à termes positifs tels que n , un vn : v n CV un aussi avec U V
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 2 : Séries numériques
(un )n , (vn )n un ~ vn vn et un sont de même nature
Application utile : un série à termes positifs. vn ln(1 un ) u n CV vn CV (un 0:DL)
Critères multiplicatifs : (un ) n ,(vn ) n *
.
un
v
CV un CV pr : () : un0 p vn p
un1 vn1
Si n0 tq n n0 , : un O(vn ) et n
0
un vn vn 0
0
u
Théorème de d'Alembert : (un )n *
On SUPPOSE qu'il existe k {} tel que n1 n
k
un
Si k 1, un converge Si k 1, un Si k 1, on ne peut rien dire
un1 q n1
D : q tq k q 1 n0 / n n0 , q thm
un qn
III. Comparaison série-intégrale
x
a , f C ([a, [, ) On dit que f converge lorsque F : x f possède une limite en
a a
On dit que f diverge sinon
a
1 x x x1 1
1
f avec f : x
x
1 f ln x : DV
1
1: f
1
1 1
CV ssi 1 (DV sinon)
f C pm ([a, [, ) avec f 0. On a équivalence entre :
(i ) a
f converge
x
(ii ) F:x a
f est majorée sur [a, [
...
Chap 2 : Séries numériques
I. Généralités
ou
n
Une série à valeur dans est un couple (un ,U n ) où (un )n et n , U n uk
k 0
(un ) est le terme général de la série, (U n ) la suite des sommes partielles. On note un pour (un ,U n )
La série décalée à l'ordre p de un est vn où n , vn un p
L'ensemble des séries muni des lois naturelles est un ev
u n série de terme général dans
n
un converge si la suite U n uk converge. La limite de U n est la somme de la série U un
k 0 n 0
u n diverge si la suite (U n ) diverge
On dit que un et vn sont de même nature lorsque (un converge ssi vn converge)
n
um série convergente de somme U . Le reste d'ordre n de um est Rn um uk U U n m0 k 0
u
m k 1
m
(I )
Equivalence suite-série : (un )n converge (un1 un ) converge
Divergence grossière : un converge (un )n 0
Une sombinaison linéaire de séries convergentes converge. CV DV DV (/! DV DV ?)
1 n
q q (1 q) q q 1
(I ) n 1
n
converge ssi | q | 1 somme :
n
1 q n 0 n 0 n 0
II. Séries à termes positifs
(un )n
u n série à termes positifs : U n croît
u n converge ssi (U n )n est majorée
u n diverge ssi (U n )n
u série à termes positifs
n
injection de dans , et (vn ) n (u ( n ) ) n : u n CV vn CV de somme V U
bijection de dans , et (vn )n (u ( n ) ) n : u n CV vn CV, les sommes sont les mêmes
n
extraction. (un )n ,U n uk (U n ) CV (U ( n ) ) CV
k 0
u n et vn séries à termes positifs tels que n , un vn : v n CV un aussi avec U V
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Chap 2 : Séries numériques
(un )n , (vn )n un ~ vn vn et un sont de même nature
Application utile : un série à termes positifs. vn ln(1 un ) u n CV vn CV (un 0:DL)
Critères multiplicatifs : (un ) n ,(vn ) n *
.
un
v
CV un CV pr : () : un0 p vn p
un1 vn1
Si n0 tq n n0 , : un O(vn ) et n
0
un vn vn 0
0
u
Théorème de d'Alembert : (un )n *
On SUPPOSE qu'il existe k {} tel que n1 n
k
un
Si k 1, un converge Si k 1, un Si k 1, on ne peut rien dire
un1 q n1
D : q tq k q 1 n0 / n n0 , q thm
un qn
III. Comparaison série-intégrale
x
a , f C ([a, [, ) On dit que f converge lorsque F : x f possède une limite en
a a
On dit que f diverge sinon
a
1 x x x1 1
1
f avec f : x
x
1 f ln x : DV
1
1: f
1
1 1
CV ssi 1 (DV sinon)
f C pm ([a, [, ) avec f 0. On a équivalence entre :
(i ) a
f converge
x
(ii ) F:x a
f est majorée sur [a, [
...