F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015



Fiche méthode 2 :

Montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel

1 La théorie
On ne montre jamais directement qu’un ensemble est un espace vectoriel. On montre que c’est un sous-espace
vectoriel d’un espace vectoriel de référence.

1.1 Espaces vectoriels de référence
• pour tout n > 1, Rn est un espace vectoriel (de dimension finie n, la base canonique étant {e~1 , . . . , e~n ) où
e~1 = (1, 0, . . . , 0), e~2 = (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , e~n = (0, . . . , 0, 1)) ;
• pour tous n > et p > 1, Mn,p (R) est un espace vectoriel (de dimension finie np, la base canonique étant
{E1,1 , . . . , E1,p , E2,1 , . . . , E2,p , . . . , En,1 , . . . , En,p } où, pour tout i, j, Ei,j est la matrice de Mn,p (R) dont tous
les coefficients sont égaux à 0, sauf celui à la i-ième ligne et j-ième colonne qui vaut 1.
• l’ensemble R[X] des polynômes (ou des fonctions polynomiales) est un espace vectoriel (de dimension infinie).
[Peu utile !]
• pour tout n > 0, l’ensemble Rn [X] des polynômes (ou des fonctions polynomiales) de degré inférieur ou égal
à n est un espace vectoriel (de dimension n + 1, la base canonique étant (e0 , e1 , . . . , en ) où e0 : x 7−→ 1, e1 :
x 7−→ x, e2 : x 7−→ x2 , . . . , en (x) = xn ).

1.2 Méthode 1 : La méthode générique
On montre que F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel en montrant que :
1. F ⊂ E. En général, c’est évident (on travaille soit avec des vecteurs de Rn , soit des matrices, soit des
fonctions. . . )
2. F est non vide. Pour cela, on montre que ~0 ∈ F .
3. F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire que si ~x, ~y sont deux vecteurs de F et que a, b sont
deux réels, alors le vecteur a~x + b~y appartient à F . (On peut aussi montrer séparément que ~x + ~y ∈ F
et que a~x ∈ F .)

1.3 Méthode 2 : La méthode accélérée (qui marche surtout pour les exercices
avec des matrices)
On montre que F est un espace vectoriel en en exhibant une famille génératrice : on trouve (on l’invente !) une
famille (e~1 , . . . , e~n ) de vecteurs tels que tout vecteur ~x de F s’écrive comme combinaison linéaire des vecteurs
(e~1 , . . . , e~n ), autrement dit qu’il existe x1 , . . . , xn tels que ~x = x1 e~1 + · · · + xn e~n .

1.4 Méthode 3 : La méthode astucieuse (qui marche parfois)
On exhibe une application linéaire φ telle que F = Ker(φ). Alors F est un sous-espace vectoriel de E parce
que le cours dit que le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’ensemble de départ.




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2 Les exemples
2.1 Un exemple classique, d’après Ecricome 2009.
À tout triplet (a, b, c) de réels, on associe la matrice M (a, b, c) définie par :
 
a a a
M (a, b, c) = 0 b b .
0 0 c
On désigne par E l’ensemble des matrices M (a, b, c) où a, b, c sont des réels. Ainsi :
E = {M (a, b, c) avec a, b, c réels}.
Montrer que E forme un espace vectoriel.
Solution par la méthode accélérée :
Une matrice N appartient à E si et seulement si elle s’écrit
     
1 1 1 0 0 0 0 0 0
N = M (a, b, c) = a 0 0 0 + b 0 1 1 + c 0 0 0 ,
0 0 0 0 0 0 0 0 1
autrement dit si et seulement si elle est combinaison linéaire des trois matrices A := M (1, 0, 0), B := M (0, 1, 0)
et C := M (0, 0, 1). Ainsi, par définition, E est l’espace vectoriel engendré par les trois matrices A, B, C :
E = Vect(A, B, C). C’est donc un espace vectoriel. Comme E ⊂ M3 (R),
E est bien un sous-espace vectoriel de M3 (R) .
Solution par la méthode générique :
• Par définition, E ⊂ M3 (R) ;
• la matrice nulle est M (0, 0, 0) ∈ E donc E est non vide ;
• si N1 := M (a, b, c) et N2 := M (a0 , b0 , c0 ) sont dans E et que λ, µ sont deux réels, alors λN1 + µN2 ∈ E car
ce n’est autre que la matrice M (λa + µa0 , λb + µb0 , λc + µc0 ).
Ainsi, E est bien un sous-espace vectoriel de M3 (R) .

2.2 Un autre exemple classique, d’après EDHEC 2006
Soit N une matrice de M3 (R). On note CN l’ensemble des matrices de M3 (R) qui commutent avec N . (Une
matrice A de CN est donc une matrice vérifiant AN = N A.) Montrer que CN est un sous-espace vectoriel de
M3 (R).
Solution (par la méthode générique puisque N n’est pas explicitement donnée, voir le cours pour l’utilisation
d’une bonne application linéaire !) :
• Si M est telle que M N = N M , alors M ∈ M3 (R) pour que les deux produits M N et N M aient un sens.
Ainsi, CN ⊂ M3 (R).
• La matrice nulle O vérifie ON = N O = O, donc appartient à CN . Ainsi, CN est non vide.
• Soient A, B deux matrices de CN et a, b deux réels. On veut montrer que aA + bB ∈ CN , c’est-à-dire que
(aA + bB)N = N (aA + bB). Développons le premier membre : (aA + bB)N = aAN + bBN . Comme A ∈ CN ,
AN = N A. De même, comme B ∈ CN , BN = N B. Ainsi, aAN + bBN = aN A + bN B. Comme N (aA + bB)
est également égal (en développant) à aN A + bN B, on a bien montré que (aA + bB)N = N (aA + bB), donc
aA + bB ∈ CN .
Finalement, CN est bien un sous-espace vectoriel de N .
Solution par la méthode astucieuse :
L’application ϕ : M ∈ M3 (R) 7−→ M N −N M ∈ M3 (R) est linéaire car si M1 et M2 sont deux matrices carrées
d’ordre 3 et λ, µ deux réels, ϕ(λM1 + µM2 ) = (λM1 + µM2 )N − N (λM1 + µM2 ) = λM1 N + µM2 N − λN M1 −
µN M2 et λϕ(M1 ) + µϕ(M2 ) = λM1 N − λN M1 + µM2 N − µN M2 , donc ϕ(λM1 + µM2 ) = λϕ(M1 ) + µϕ(M2 ).
On remarque alors que M ∈ Ker ϕ ⇐⇒ ϕ(M ) = 0 ⇐⇒ M N − N M = 0 ⇐⇒ M N = N M ⇐⇒ M ∈ CN . Donc
CN = Ker ϕ est un sous-espace vectoriel de M3 (R) .


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Fiche méthode 3 :

Montrer qu’une famille est libre
Dans toute la suite, E désigne un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie).


1 La méthode générale
Soient (u~1 , u~2 , · · · , u~n ) une famille de n vecteurs de E. On aimerait montrer que cette famille
est libre. Pour cela, on suppose que λ1 , . . . , λn sont n réels tels que λ1 u~1 + · · · + λn u~n = ~0E ,
et on montre que λ1 = · · · = λn = 0 (ce qui revient à résoudre un système).

Exemple 1 : dans R3 .
Dans E = R3 , on considère les vecteurs ~u := (1, 1, 3), ~v := (2, 2, 4) et w ~ := (0, 1, 2).
Montrons que la famille (~u, ~v , w)
~ est libre.
Soient a, b, c trois réels tels que a~u + b~v + cw
~ = ~0.
Comme a~u + b~v + cw ~ = (a, a, 3a) + (2b, 2b, 4b) + (0, c, 2c) = (a + 2b, a + 2b + c, 3a + 4b + 2c),
on en déduit que

a + 2b = 0

a~u + b~v + cw~ = ~0 ⇐⇒ a + 2b + c = 0

3a + 4b + 2c = 0


a = −2b

⇐⇒ c = 0 ⇐⇒ a = b = c = 0.

−6b + 4b = 0


La famille (~u, ~v , w)
~ est donc libre.

Exemple 2 : dans M2 (R).      
1 1 1 2 0 0
Dans E = M2 (R), on considère les matrices A := , B := et C := .
1 0 1 2 1 0
Montrons que la famille (A, B, C) est libre.
Soient a, b, c trois réels tels que aA + bB + cC  = O où O est la matrice nulle de M2 (R).
a+b a + 2b
Comme aA + bB + cC = , on en déduit que
a+b+c 2b


 a+b=0

a + 2b = 0
aA + bB + cC = O ⇐⇒ ⇐⇒ a = b = c = 0.


 a + b + c = 0

2b = 0
Ainsi, la famille (A, B, C) est libre.



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