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Mis à jour Updated: 17/04/2021 - 06:02:25
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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725192
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Description
Chap 13 : Algèbre linéaire
Chap 13 : Algèbre linéaire
I. Familles libres, familles liées, bases
I ensemble, corps commutatif.
I
F(I , ) (I )
{(i )iI I
/ supp(i ) {i I / i 0} est fini} (ce sont des ev)
E ev , ( xi )iI E I , (i )iI (I )
x
iI
i i
isupp( i )
i xi
(I ) E
x ( xi )iI E (I )
x ( )
i iI
i xi est linéaire, son image est Vect ( xi )iI
libre si a est injective (liée, sinon)
(ai ) E I est génératrice si a est surjective
une base de E si est un isomorphisme
a
0 (ai ) ou k j, ak a j (ai ) liée.
Une sous-famille d'une famille libre est libre. Une sur-famille d'une famille liée est liée
Une base est une famille génératrice minimale
E, F ev, (ei )iI base de E. ( fi )iI F I ! L ( E, F ), i I , (ei ) f i
injective ( fi )i libre surjective ( fi )i génératrice isomorphisme ( fi )i base
Liberté de famille de fonctions Analyse locale : équivalents/limites, développement limité
X ( X 1)...( X n 1)
(I )
Polynômes de Hilbert : H 0 ( X ) 1, H n ( X ) H n ( X 1) H n ( X ) H n1 ( X )
n!
d
P [ X ], d deg P, P( ) (1 ...d ) d 1
, P k H k a0 , k 0, d , P(ak )
k 0
II. Théorie de la dimension finie
Si E possède une base finie (e1...en ), toute famille ( x1...x p ) avec p n 1 est liée
n
Pas dans : (2,3) est génératrice, mais ne contient pas de base
F et G sev du ev de dimension finie E. Si F G et dim F dim G, alors F G
III. Endomorphismes et dimension finie
E, F ev
H Im u
u L ( E , F ), H un supplémentaire de ker u dans E. u est un isomorphisme Im u
H
x u ( x)
Thm du rang : u L ( E, F ). Si E est de dimension finie, Im u aussi et dim(ker u) dim(Im u) dim E
Si E et F ont la même dimension, u L ( E, F ) surjective injective isomorphisme
Faux en dimension infinie, même si E F (dérivation des polynômes...)
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 13 : Algèbre linéaire
Interpolation de Lagrange : x1 ...xn 2 à 2 distincts, a1 ...an .
X xi
n n
!P n 1 [ X ] / i 1, n , P( xi ) ai Lk , P ak Lk
i 1 xk xi k 1
ik
Interpolation d'Hermite : ou , x1...xn 2 à 2 distincts, a1...an , b1...bn
2 n 1 [ X ], i 1, n , P( xi ) ai et P '( xi ) bi (P ( P( xi ), P '( xi ))i inj)
(I )
A algèbre asso. unitaire intègre. A de dim. finie A est un corps (x ax lin, inj bij)
IV. Rang
E et F ev
u L ( E, F ) est de rang fini lorsque Im u est de dim. finie. Alors, rg u dim(Im u)
E de dim finie, de base (e1...en ) u L ( E, F ), rg u rg(u(e1 )...u(en ))
u L ( E , F ) de rang fini, w L ( E ', E ), v L ( F , F ') v u et u w sont de rang fini et :
r (u w) rg(u ) et rg(v u ) rg(u ), avec égalité si w / v est un isomorphisme
rg(u v) rg(v) ssi Im v ker u {0} || rg(u v) rg(u) ssi Im v ker u E || | rg(u) rg(v) | rg(u v)
V. Sommes, sommes directes
p
E1...E p ev de dim finie. E1 ... E p est de dim finie, dim( E1 ... E p ) dim Ek
k 1
F1 ... Fp E
F1 ...Fp sev du ev E j
( x1 ,..., x p ) x1 ... x p
La somme de F1 ...Fp est Im j , notée
Fj Vect
Fj .
Fi
i 1, p
j 1, p j 1, p
F1 ...Fp sont en somme directe lorsque j est injective : c'est alors un isomorphisme : F1 ... Fp
j 1, p
Fj
On note alors
j 1, p
Fj Fj , et on dit que F1 ...Fp sont supplémentaires lorsque
j 1, p
Fj E
j 1, p
F1...Fp en somme directe ( x1...x p ) F1 ... Fp , x1 ... x p 0 x1 ... x p 0
F et G sont en somme directe ssi F G {0}
F1 ...Fp sont en somme directe ssi j 2, p ,( F1 ... Fj 1 ) Fj {0}
F1...Fp de dimension finie
dim Fj dim F j
p
dim( F G ) dim F dim G dim( F G )
j 1, p j 1
Si j est une base de Fj , 1 ... p est une base de
...
Chap 13 : Algèbre linéaire
I. Familles libres, familles liées, bases
I ensemble, corps commutatif.
I
F(I , ) (I )
{(i )iI I
/ supp(i ) {i I / i 0} est fini} (ce sont des ev)
E ev , ( xi )iI E I , (i )iI (I )
x
iI
i i
isupp( i )
i xi
(I ) E
x ( xi )iI E (I )
x ( )
i iI
i xi est linéaire, son image est Vect ( xi )iI
libre si a est injective (liée, sinon)
(ai ) E I est génératrice si a est surjective
une base de E si est un isomorphisme
a
0 (ai ) ou k j, ak a j (ai ) liée.
Une sous-famille d'une famille libre est libre. Une sur-famille d'une famille liée est liée
Une base est une famille génératrice minimale
E, F ev, (ei )iI base de E. ( fi )iI F I ! L ( E, F ), i I , (ei ) f i
injective ( fi )i libre surjective ( fi )i génératrice isomorphisme ( fi )i base
Liberté de famille de fonctions Analyse locale : équivalents/limites, développement limité
X ( X 1)...( X n 1)
(I )
Polynômes de Hilbert : H 0 ( X ) 1, H n ( X ) H n ( X 1) H n ( X ) H n1 ( X )
n!
d
P [ X ], d deg P, P( ) (1 ...d ) d 1
, P k H k a0 , k 0, d , P(ak )
k 0
II. Théorie de la dimension finie
Si E possède une base finie (e1...en ), toute famille ( x1...x p ) avec p n 1 est liée
n
Pas dans : (2,3) est génératrice, mais ne contient pas de base
F et G sev du ev de dimension finie E. Si F G et dim F dim G, alors F G
III. Endomorphismes et dimension finie
E, F ev
H Im u
u L ( E , F ), H un supplémentaire de ker u dans E. u est un isomorphisme Im u
H
x u ( x)
Thm du rang : u L ( E, F ). Si E est de dimension finie, Im u aussi et dim(ker u) dim(Im u) dim E
Si E et F ont la même dimension, u L ( E, F ) surjective injective isomorphisme
Faux en dimension infinie, même si E F (dérivation des polynômes...)
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 13 : Algèbre linéaire
Interpolation de Lagrange : x1 ...xn 2 à 2 distincts, a1 ...an .
X xi
n n
!P n 1 [ X ] / i 1, n , P( xi ) ai Lk , P ak Lk
i 1 xk xi k 1
ik
Interpolation d'Hermite : ou , x1...xn 2 à 2 distincts, a1...an , b1...bn
2 n 1 [ X ], i 1, n , P( xi ) ai et P '( xi ) bi (P ( P( xi ), P '( xi ))i inj)
(I )
A algèbre asso. unitaire intègre. A de dim. finie A est un corps (x ax lin, inj bij)
IV. Rang
E et F ev
u L ( E, F ) est de rang fini lorsque Im u est de dim. finie. Alors, rg u dim(Im u)
E de dim finie, de base (e1...en ) u L ( E, F ), rg u rg(u(e1 )...u(en ))
u L ( E , F ) de rang fini, w L ( E ', E ), v L ( F , F ') v u et u w sont de rang fini et :
r (u w) rg(u ) et rg(v u ) rg(u ), avec égalité si w / v est un isomorphisme
rg(u v) rg(v) ssi Im v ker u {0} || rg(u v) rg(u) ssi Im v ker u E || | rg(u) rg(v) | rg(u v)
V. Sommes, sommes directes
p
E1...E p ev de dim finie. E1 ... E p est de dim finie, dim( E1 ... E p ) dim Ek
k 1
F1 ... Fp E
F1 ...Fp sev du ev E j
( x1 ,..., x p ) x1 ... x p
La somme de F1 ...Fp est Im j , notée
Fj Vect
Fj .
Fi
i 1, p
j 1, p j 1, p
F1 ...Fp sont en somme directe lorsque j est injective : c'est alors un isomorphisme : F1 ... Fp
j 1, p
Fj
On note alors
j 1, p
Fj Fj , et on dit que F1 ...Fp sont supplémentaires lorsque
j 1, p
Fj E
j 1, p
F1...Fp en somme directe ( x1...x p ) F1 ... Fp , x1 ... x p 0 x1 ... x p 0
F et G sont en somme directe ssi F G {0}
F1 ...Fp sont en somme directe ssi j 2, p ,( F1 ... Fj 1 ) Fj {0}
F1...Fp de dimension finie
dim Fj dim F j
p
dim( F G ) dim F dim G dim( F G )
j 1, p j 1
Si j est une base de Fj , 1 ... p est une base de
...