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Dipôle magnétique

Moment magnétique d’un circuit filiforme : on définit le moment magnétique engendré d’un circuit fi-
−→ −
→ −
→
liforme orienté C parcouru par un courant i par M = i S où S est le vecteur surface du circuit orienté :

−
→
Z
S = →
−
n (P ) d S ,
S

où →
−
n (P ) est le vecteur normal à la surface au point P .

Moment magnétique dans le cas général : on définit le moment magnétique d’une distribution de cou-
rants D par :

−→ 1
Z
→
− →
−
M= r ∧ j dV
2 D

−
→ 1
R →
− −→
Comme pour une surface délimitée par un contour orienté S = 2 Cr ∧ d r , on retrouve l’expression
du moment magnétique d’un circuit filiforme.

Dipôle magnétique : on appelle dipôle magnétique toute distribution de courants de moment magné-
tique non nul dont les dimensions sont petites devant la distance à laquelle on étudie le champ magné-
tique.
On remarque que cette définition est analogue à celle du dipôle électrostatique.

Modélisation d’un dipôle magnétique : tout dipôle magnétique peut être représenté par une spire cir-
culaire de petite dimension parcourue par un courant et de même moment magnétique.

Champ magnétique créé par un dipôle magnétique : par analogie avec le dipôle électrostatique (cf.
Dipôle électrostatique), le potentiel créé par le dipôle est :

−→ →
→
− µ0 M ∧ −
ur
A= 2
4π r

De même, par analogie, le champ magnétique créé est :

→
− µ0 2M cos θ − µ0 M sin θ −
B = u→r + u→
θ
4π r3 4π r 3


→
− →−
Action d’un champ magnétique uniforme sur un dipôle magnétique : de même, par analogie, F = 0
−→ → −
et →
−
m =M ∧ B .

−→ →−
Énergie potentielle d’interaction d’un dipôle avec un champ magnétique : E P = −M · B .
78 29 – Dipôle magnétique
 30
Ferromagnétisme et applications
30.1 Matériaux magnétiques

Aimantation : certains matériaux sont constitués de particules possédant des moments magnétiques
qui peuvent être orientés sous l’action d’un champ magnétique. Alors le moment magnétique moyen
−
→ −→
M
n’est plus nul, on définit le vecteur aimantation par M = ddV .

Excitation magnétique : l’aimantation devient une source de champ magnétique, ce qui entraîne une
→
−
modification des équations de Maxwell. On introduit pour cela le vecteur excitation magnétique H tel
→
− −
→ → −
que B = µ0 (M + H ) .

Équations de Maxwell généralisées : on généralise alors les équations de Maxwell aux milieux magné-
→− ρ
div E = ,
ε0
→−
−→ →− ∂B
rot E = − ,
∂t
→−
div B = 0 ,
→
−
−→ →− → − ∂E
tiques : rot H = j + ε0 .
∂t
−→ →
− →
−
Dans le cadre de l’ARQP, la dernière équation se simplifie en rot H = j .
Ces équations s’intègrent de la même manière que les équations dans le vide (cf. Équations de Maxwell ).

Relations de passage : on conserve la relation de passage du champ électrique. Celle du champ ma-
→
− →
−
gnétique est légèrement modifiée : div B = 0 donne la continuité des composantes normales de B et
−→ →− →
− −−→ −−→ →−
rot H ≈ j donne la relation sur les composantes tangentielles : HT 1 − HT 2 = j s ∧ −
n−1→2
−→.

−
→ → −
Relations constitutives du milieu : on étudie ici la relation entre M et H dans trois types de milieux :
−
→ →
− −
→ →
−
— milieu diamagnétique : M est induit par H selon M = χ H où χ est la susceptibilité magnétique
du milieu (χ ∼ −10−5 ) (∼ : « est de l’ordre de »). Il s’agit d’un phénomène de modération : χ < 0.
— milieu paramagnétique : des moments magnétiques permanents orientés aléatoirement existent.
−
→ →
−
En présence d’excitation magnétique, ils s’orientent et on a encore M = χ H (χ ∼ 10−3 ).
— milieu ferromagnétique : ils peuvent avoir une aimantation importante même sans excitation
magnétique.
−
→ →
−
Milieu linéaire : un milieu est linéaire si M = χ H , on définit alors la perméabilité µ et la perméabilité
→
− →
− →
− →
−
relative µr de ce milieu par B = µ0 (1 + χ) H = µ H = µ0 µr H .


30.2 Matériaux ferromagnétiques

Courbes de première aimantation : on place un matériau ferromagnétique désaimanté dans un champ
d’excitation magnétique d’amplitude strictement croissante dans le temps et l’on observe l’aimantation
et le champ magnétique dans le matériau (cf. Fig. 1).


Cycle d’hystérésis : on fait ici varier H entre deux valeurs Hmax et −Hmax (cf. Fig. 2). On distingue :
— l’excitation coercitive Hc : valeur positive de H quand M = 0. À Hc , le champ magnétique vaut
B = µ0 Hc ' 0.
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