Mécanique 7

Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives
I. Forces centrales conservatives
I.1. Définitions
Lorsque dans une région de l'espace, un point matériel est soumis à une force qui dépend de la position
  du
point, on dit que dans cette région de l'espace règne un champ de forces. La force sera alors notée F ( r ).

Une force est dite centrale si, au cours du mouvement du mobile ponctuel M auquel elle est appliquée,
le support de la force passe toujours par le même point fixe du référentiel.
€ €
Exemples : point lié par un fil à un point fixe, satellite d’une planète, électron d'un atome …
La singularité de ce point fixe impose l'utilisation de coordonnées sphériques.
      
 Une force centrale est du type F = F( r )– e r où r et e r sont définis par OM = r = r– e r.

 Cette force centrale est conservative s'il existe une fonction Ep telle que le travail de la force entre deux
r  
positions M1 et M2 de M soit
€ opposé € € à la variation
€ €de Ep soit W1→2 = € 2 F –d ∫ € l = E€p1 – Ep2.
r1
    
Ici F = F( r )– e r donc seule la composante sur e r de d l a une contribution non nulle.
      
En effet en coordonnées sphériques OM = r– e r → d l = € d OM € = d(r– e r) = dr– e r + r–d e r or
   €
e r –d e r = 0 puisque la dérivée de e r lui est perpendiculaire.
€ € € € €
r2    r2    r2 
→Ep2 - Ep1 = - F( r )– e r–d r = -
∫ F( r )– e r–dr– e r = -
∫ ∫ F( r )–dr
r1 €r1 € r1 € € €
€ € €
Nous limitons notre étude à celle des points matériels soumis à une force (ou une somme de forces)
centrale conservative
€ €dans€un référentiel€galiléen.
€ € €
€ € €
I.2. Exemple interaction gravitationnelle
Soient deux masses ponctuelles m1 et m2 placées respectivement en M1 et M2 et r = M1M2. Ces deux
masses interagissent l'une sur l'autre et on supposera l'absence de toute autre action sur M1 ni M2.
 G ⋅m 1 ⋅m 2  M1M2
• loi de force F = - 2
– e 1→2 = - G•m1•m2• 3
et G est la constante de la gravitation
r M1M2
2
universelle G = 6,67–10-11 m 3 -2 -1
€ –s –kg ≈ 3 –10
-10 m3–s-2–kg-1.
€
€
⇒ Si le référentiel lié à M1 peut être considéré comme galiléen on peut dire que dans ce référentiel M2
€
est soumis à une force centrale constamment dirigée vers M1. On placera donc l'origine du repère
sphérique en M1. €

G et les masses sont des grandeurs positives donc la force gravitationnelle est une force attractive. Pour
 k 
alléger l'écriture on pose k = G–m1–m2 > 0 → F = - 2
– e r
r
• Cette force dérive de l'énergie potentielle gravitationnelle Ep = - ∫ F(r)–dr + C où C est une
k €k €
constante → Ep =
r
∫ 2
–dr + C = -
r
+ C.€On pose par convention Ep(∞) = 0 → C = 0.

k G ⋅m 1 ⋅m 2 €
→ Ep = - =-
r r
€ € €
I.3. Exemple interaction électrostatique
Soient
€ € charges ponctuelles q1 et q2 placées respectivement en M1 et M2. Ces deux charges
deux
interagissent l'une sur l'autre et on supposera l'absence de toute autre action sur M1 ni M2.
 1 q ⋅q  1 q ⋅q M1M2 1
• loi de force F = – 1 2 2 – e 1→2 = – 1 2 2 – 2
où = 9–109 m–F-1
4 ⋅ π ⋅ε0 r 4 ⋅ π ⋅ε0 r 4 ⋅ π ⋅ε0
M1M2

Les charges
€ sont des grandeurs
€ algébriques donc la force électrostatique est une force attractive si
q1–q2 < 0 et€répulsive€si q1–q2 > 0. € € €
€

MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 07 Forces centrales  ds - 20 février 2012 page 1 / 8
 ⇒ Si le référentiel lié à M1 peut être considéré comme galiléen on peut dire que dans ce référentiel M2
est soumis à une force centrale constamment dirigée vers M1. On placera donc l'origine du repère
sphérique en M1.
1  k 
On peut encore pour alléger l'écriture poser k = - –q1–q2 > 0 → F = - – e r de forme
4 ⋅ π ⋅ε0 r2
identique à la force gravitationnelle mis à part qu'ici k peut être positif ou négatif.

• Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique Ep =€ -
€
F(r)–dr
€ ∫
€ + C où C est une

k k
constante → Ep =
r 2 ∫
–dr + C = -
r
+ C. On pose par convention Ep(∞) = 0 → C = 0.

k 1 q1 ⋅q2 €
→ Ep = - = –
r 4 ⋅ π ⋅ε0 r
€ € €
II. Lois générales de conservation
€ € €
Soit M un point de masse m mobile dans un référentiel galiléen R0 et soumis uniquement à une force

centrale conservative F dont le support passe toujours par un point O fixe dan R0.

II.1. Moment cinétique en O
€
II.1.1. Conservation 
    dLO 
F est donc colinéaire à OM et son moment en O : MO = OM ∧ F = 0 donc = 0.
...