Université de Paris 2020-2021
Préparation à l’agrégation interne de physique-chimie

TD Introduction à la physique quantique
Christophe Voisin 1


1 Quelques repères
1.1 Les constantes fondamentales (et indispensables)
• La constante de Planck h = 6.626070040(81) × 10−34 J·s
h
• La constante de Planck réduite ~ = 2π = 1.054571800(13) × 10−34 J·s
• La vitesse de la lumière c = 299792458 m/s
• La charge de l’électron e = −1, 602176565(35) × 10−19 C
• La constante de Boltzmann kB = 1, 38064852 × 10−23 J·K−1

1.2 Bibliographie
Pour les concepts :
• Cours de physique Berkeley, Physique quantique volume 4 (Armand Colin)
• J.M. Levy-Leblond, F. Balibar, Quantique Rudiments (Masson)
• Feynman, Cours de Physique, Mécanique Quantique
Pour la méthodologie :
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Mécanique Quantique I (très bon aussi pour les
concepts)
• Tout-en-un Physique MP : tous les calculs à 1D (Breal).

1.3 Ressources Web
Quelques sites web où trouver des illustrations de physique quantique.

1.3.1 Dualité onde-corpuscule
Interférences photon par photon :
https ://www.youtube.com/watch ?v=GzbKb59my3U
https ://www.youtube.com/watch ?v=NaEo517NDXo

Interférences électron par électron :
https ://www.youtube.com/watch ?v=zc-iyjpzzGQ

1.3.2 Équation de Schrödinger et particules dans des potentiels unidimensionels
Sur le site web de polytechnique, http ://www.quantum-physics.polytechnique.fr/, une appli-
cation Java permet de simuler des potentiels unidimensionnels, de visualiser les fonctions d’onde
associées en mode stationnaire mais aussi avec l’évolution temporelle.
1. Adapté librement d’un TD conçu par Anne Anthore




1
1.3.3 Interaction lumière-matière
Le rayonnement du corps noir et son utilisation en astronomie :
http ://media4.obspm.fr/public/FSU/pages corps-noir/index.html


2 Exercices

2.1 Dualité onde-corpuscule
2.1.1 Dualité onde-corpuscule : les grandeurs et relations caractéristiques (adapté de
CCP MP 2016)
Ondes électromagnétiques
1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation ω et le vecteur d’onde ~k d’une onde électromagnétique
et les caractéristiques de la particule associée, le photon.
réponse :
ω = 2πν, λ = νc = 2πc ω
et ~k = 2π
λ
~u d’où la relation de dispersion ~k = ωc ~u

2. Quels sont les ordres de grandeur de l’énergie, exprimée en eV, d’un photon visible et d’un
photon X qui est diffracté par les réseaux cristallins ?
réponse :
λvisible = 500 nm. L’énergie en électron Volt est E = hνe
hc
= λe ' 3 eV
Pour un photon X, λX = 0.1 nm et E = 10 keV

Ondes de matière
1. Donner le vecteur d’onde k0 et la pulsation ω0 de l’onde associée à une particule non relativiste
d’énergie E0 et de quantité de mouvement p~0 = m dx dt x
e~ .
1 ∞
A(k)ei[kx−ωt] dk centré autour de la pulsation ω0 et du
R
2. Soit un paquet d’onde ψ(x, t) = 2π −∞
vecteur d’onde k0 précédents. Quelle est la vitesse de groupe de ce paquet ? Commenter.
réponse :
vG = dωdk
= d~ω
d~k
= dE
dp
= mp = dxdt
la vitesse de la particule d’où la dualité onde particule.

3. Etablir la longueur d’onde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste,
accéléré avec une différence de potentiel U .
réponse :
2 h h
E = eU = ~k 2m
avec k = 2π/λ on trouve λ = √2mE = √2meU .

4. Déterminer la valeur de U , pour laquelle on obtiendrait la même longueur d’onde que celle
d’un photon X de λ = 0, 1 nm.
réponse :
on trouve U = 140 V.

5. Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On
considère que le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de l’ordre de
10−10 m et que les électrons libres ont une vitesse due à l’agitation thermique. On se placera
à 300 K.



2
 réponse :
L’énergie liée à l’agitation thermique E = kB T = 0.025 eV. Le réseau cristallin a un paramètre
2
de maille de 10−10 m. La pulsation associée à leur énergie est ω = E/~ = 3.9 ∗ 1013 rad/s= mv 2h
avec v la vitesse si ce sont des électrons libres. On trouve v = 2 ∗ 105 m/s ainsi λ = hp = mvh
=
−9
3 10 m. λ est de l’ordre du paramètre de maille, il faut donc considérer l’aspect quantique
de l’électron.
6. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en phy-
sique quantique ? Placer leurs travaux par ordre chronologique.
réponse :
1900 Planck : le rayonnement du corps noir
1905 Einstein : l’effet photoélectrique
1926 de Broglie : Ondes de matière
1926 Shroedinger : Fonction d’onde et son équation d’évolution.


2.1.2 Dualité onde-corpuscule des photons : Approche documentaire (extrait de l’AE
2016)




3
VI.4 – Cas d’un milieu chiral de type (D) a)

E0 eiωt ϕ
70 – Proposer une modification du modèle de Kuhn simplifié précédent permettant de décrire 1 + cos ϕ
I(ϕ) = |E0 |2
un milieu chiral de type (D). 2

71 – En déduire une démonstration de l’égalité (9). On pourra, afin d’éviter de longs calculs,
utiliser directement l’équation constitutive (5) et étudier sa transformation par une b)
symétrie-miroir. Nombre de
photo-détections


VII – Approche documentaire : photons uniques
1 + cos ϕ
P (ϕ) =
2
ϕ
Une expérience utilisant un interféromètre de Mach-Zehnder a été envisagée dans la Différence de phase entre les deux voies
partie V de la composition. Or il s’avère que cet interféromètre est un instrument de choix
en optique quantique. Des éléments intéressants à ce sujet sont exposés dans un article Figure 1 – a) Dans un interféromètre alimenté par un champ classique, l’inten-
des Images de la physique 2006, disponible en accès libre sur l’Internet depuis l’adresse sité lumineuse I(ϕ) en sortie oscille avec la différence de phase ϕ entre les deux
http://www.cnrs.fr/publications/imagesdelaphysique (référence complète : I. Robert- chemins. b) Lorsqu’un photon unique est envoyé dans l’interféromètre, la pro-
Philip, A. Browaeys et G. Messin, « Photons indiscernables : qui se ressemble s’assemble », babilité de photo-détection P (ϕ) en sortie varie avec ϕ comme l’intensité qui
Images de la physique 2006, pp. 106-112). Le document suivant, constitué d’extraits du début serait obtenue p...