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4. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES
Les définitions et théorèmes tels qu’ils sont énoncés ici sont valables aussi bien pour des
solides indéformables que pour des systèmes déformables.

4.1. Préliminaire
Au sens classique, un système S peut être défini comme un ensemble de points matériels
Mi , chacun étant affecté d’une masse mi . Le passage à des distributions continues de masse
s’impose souvent lorsque l’on calcule les grandeurs mécaniques (moments d’inertie ou
positions de centres de gravité,...). Il est cependant plus pratique de retenir les définitions
sous forme discrète et facile de retrouver rapidement tous les théorèmes de la mécanique
des systèmes en utilisant des sommes discrètes plutôt que des intégrales.
Le passage du discret au continu pour une grandeur mécanique A s’effectue en rempla-
çant : """
!
A(Mi )mi par A(M)dm.
i


4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique
Le centre d’inertie G du système matériel S, de masse totale m est défini par :
! −−→
mi OMi
−−→ Mi ∈S
OG =
m
### −−→
−−→ S
OMdm
ce qui peut s’écrire OG = dans le cas d’une distribution continue.
m
– La position de G ne dépend pas du choix de O.
– Si la distribution de masse du système présente des symétries (plans, axes), G est à
l’intersection de ses éléments de symétrie. Pour déterminer les éléments de symétrie de
S, l’examen de la forme géométrique ne suffit pas. Il faut penser à l’homogénéité de la
distribution de masse.
Le référentiel barycentrique (Rba ) associé à R a son origine en G et est en translation
(généralement non rectiligne) par rapport à R ; les axes du repère barycentrique sont à
tout instant parallèles aux axes de R.

Rba

Rba
O G
G
R


Instant t1 Instant t2




26

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4.3. Quantité de mouvement
Définition : La quantité de mouvement du système S dans le référentiel R est :

−
→ !
p (S/R) = mi −
→
v (Mi /R)
Mi ∈S


Cette définition n’est généralement pas utilisable directement pour calculer des quantités
de mouvement dans un problème de mécanique. Il est donc crucial de se rappeler qu’il
découle de la définition de G la relation très utile :
−
→
p (S/R) = M−
→
v (G/R)

La définition même de Rba implique que la quantité de mouvement d’un système est
→
− →
−
nulle à tout instant dans le référentiel barycentrique ( p (S/Rba ) = 0 ) ; cette propriété
est utile pour traiter des problèmes de chocs.
• Principe de l’inertie : différents énoncés peuvent en être donnés. À ce titre-là, il est
intéressant de se reporter à l’ouvrage d’Isaac Newton De philosophiae naturalis principia
mathematica paru en 1687.
Principe : Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé est
constante.

Il importe de bien avoir présent à l’esprit que cela signifie que G est soit au repos, soit en
mouvement rectiligne et uniforme, et que le système peut se déformer et tourner autour
de G
• Théorème du centre d’inertie (ou résultante cinétique)
Théorème : Le mouvement du centre d’inertie d’un système est le même que celui d’un point
matériel dont la masse totale serait celle du système et auquel seraient appliquées toutes les forces
extérieures. ! − "
→
d p (S/Rgal ) # −→
= Fext
dt
Rgal




Dans le cas où R n’est pas galiléen, il faut ajouter à la somme des forces extérieures, les
forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis (il faut en général intégrer sur la totalité
du système pour les calculer).

4.4. Moment cinétique
Définition : Le moment cinétique en un point quelconque A, du système S par rapport
à R est :
! −−→
−
s→(S/R) = AM ∧ m − →v (M /R)
A i i i
Mi ∈S




1. MÉCANIQUE 27

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Le moment cinétique dépend du point où on le calcule et se transforme comme un
torseur :
− −→ −→
s→ →
−
A (S /R) = s B (S /R) 1 AB ∧ p (S /R)


• Théorème du moment cinétique : il n’est applicable sous sa forme simple qu’en un
point fixe d’un référentiel galiléen ou au centre d’inertie.
– Point fixe O de Rgal : On a souvent intérêt à l’utiliser sous cette forme si O appartient
à S.
Théorème : La dérivée galiléenne par rapport au temps du moment cinétique d’un système en
un point fixe O d’un référentiel galiléen est égale à la somme des moments en ce point des forces
extérieures appliquées.
$ − %
d→s O (S/Rgal ) # −→ −→
= MO (Fext )
dt Rgal




– Au centre d’inertie G : puisque Rba est en translation par rapport à R, le moment
cinétique en G est le même dans R et dans Rba .
$ − % !
d→
s G (S) −→ −→
= MG (Fext )
dt
• Forme scalaire : le théorème du moment
cinétique peut se réduire à une relation sca- A
laire dans le cas où le mouvement se fait par G
rapport à un axe fixe D, ou un axe dont la
direction reste fixe. Le vecteur unitaire −→
u u
définissant la direction de cet axe : Rgal

s (S/R ) = −
D gal s→(S/R ) · −
A gal
→u
et l’application du théorème du moment cinétique en A se ramène à :
$ % !
dsD (S/Rgal ) −→
= MD (Fext )
dt Rgal
→
− −→ − → −
sD = − s→ →
− →
A · u et MD ( F ) = MA ( F ) · u définissent respectivement le moment cinétique
et le moment scalaire des forces par rapport à l’axe D.

4.5. Énergie cinétique. Conservation de l’énergie

Définition : L’énergie cinétique du système S par rapport à R est :

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