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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: ganack
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 13
Taille Size: 950.42 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 20/01/2021 - 23:46:03
Uploadeur Uploader: ganack (Profil)
Téléchargements Downloads: 2
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2686346

Description 

1 Contrat de retraite


a. Provision d’une rente déjà servie en absence de versement pendant la phase de service


Exemple : Calculer les PM avec et sans extrapolation d’une personne née le 20/06/1960 en
2018, sachant qu’elle a une rente annuelle à terme échue de 500 euros. Le taux de tarification
de la rente est de 1% et le taux de rémunération de 6%. On suppose que le sexe de l’adhérent
est masculin

Correction

Sans extrapolation
On rappelle que la Pm est calculée comme suit :

???????? = ???????????????????????????????????????????? − ????????????????????????????????é

Pas de versement pendant la phase de service, donc

????????????????????????????????é = 0

L’assuré est né en 1960 donc il est âgé de :

???? = 2018 − 1960 = 58 ????????????
Les rentes sont à termes échus, donc :les flux versés par l’assureurs se représentes comme
suit :



R R R R …. R

x X+1 X+2 X+3 X+4 …


L’assureur verse R si l’assuré est en vie aux âges x+1, x+2… jusqu’à son décès

Donc l’engagement de l’assureur est :

????????+???? 1
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ∑ ∗ ∗????
???????? (1 + ????)????
????≥=1
Avec :

• ????????+???? : le nombre de survivant à l’âge x+k
• ???????? : le nombre de survivant à l’âge x
• i le taux technique de provisionnement que nous identifierons au taux technique de
tarification

Avec les commutations, on écrit avant bonification :
????????+1
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ????
????????
Après bonification :

????????+1 1 + 6%
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ???? (???????????? ( − 1; 0) + 1)
???????? 1 + 1%

Avec les coefficients de rentes :

• Avant bonification :
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ????????????

• Après bonification :

1 + 6%
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ???????????? ∗
1 + 1%


Application numérique :

Avant bonification :

????59
???????????????????????????????????????????? = ????????58,1% = ???? = 13180.5629
????58
Après bonification :

????59 1 + 6%
???????????????????????????????????????????? = ????????58,1% = ???? = 13833.06598
????58 1 + 1%




Avec extrapolation

Techniquement la Pm est sensée couvrir le risque sur l’année comptable 2019. Cependant, il
faut calculer la Pm de façon à prendre en compte le vieillissement de l’assuré. Refaisons le
raisonnement :
• L’assuré est né le 20/06/1960, il aura 58 ans le 26/06/2019
• Le calcul de la PM se fait le 31/12/2018
• L’assuré aura 59 ans le 20/06/2019

Si on calculait la PM au 20/06/2018, on aurait une PM tel que :
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? = ????????58,????
Si on calculait la PM au 20/06/2019, on aurait une PM tel que :
???????????????????????????????????????????? = ????????????+1,???? = ????????59,????

En supposant que la PM evolue linéairement entre les deux dates d’anniversaire, on a :
Entre le 20/06/2018 et le 20/06/2019, la PM s’écrit :
???????????????????????????????????????????? = ???????? + ???? = ????????????+????,????

Avec t appartenant [0,1], tel que t+x appartient à [58,59]
On a t=0, l’assureur à :



???????????????????????????????????????????? = 0 ∗ ???? + ???? = ????????????,????
Ce qui implique

???? = ????????????,????
A t=1, l’assureur a comme engagement :

???????????????????????????????????????????? = 1 ∗ ???? + ????????????,???? = ????????????+1,????

Ce qui implique

???? = ????????????+1,???? − ????????????,????


Donc quelque soit t appartenant [0,1], on a :


???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? + (????????????+1,???? − ????????????,???? ) ∗ ???? = (1 − ????) ∗ ????????????,???? + ???? ∗ ????????????+1,???? = ????????????+????,????


Donc au 31/12/2018, si on chiffre t en fonction de moi : t représente l’âge d’un enfant né le
20/06/2018 et qui décède le 20/06/2018 (ici on néglige le nombre de jour entre le le
20/06/2018 et 01/07/2018). De fait, t en fonction des mois est égal :
12 − ???? ????
????= =1−
12 12

Donc on obtient :
???? ????
???????????????????????????????????????????? = ∗ ????????????,???? + (1 − ) ∗ ????????????+1,???? = ????????????+????,????
12 12




Avant bonification :

6 6 1 1
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? + ????????????+1,???? = ???? ∗ ( ???????? + ????????+1 )
12 12 2 2

Après bonification :

6 6 1 1 1 + 6%
???????????????????????????????????????????? = ????????????,???? + ????????????+1,???? = ???? ∗ ( ???????? + ????????+1 )
12 12 2 2 1 + 1%


Avant bonification :
1 1
???????????????????????????????????????????? = ???? ∗ ( ???????? + ????????+1 ) = 13017.46159
2 2
Après bonification :

1 1 1 + 6%
???????????????????????????????????????????? = ???? ∗ ( ???????? + ????????+1 ) = 13661.89038
2 2 1 + 1%


b. Provision d’une rente non servie pour un contrat à versement libre


Une personne souhaite souscrire à un contrat de rente à versement libre. Elle sillonne les
entreprises d’assurances de la place et on lui propose deux formules :

• Première formule : une compagnie A propose qu’à chaque fois qu’elle versera de
l’argent sur son contrat, le versement net de frais sera immédiatement converti en
rente à terme échu au taux technique en vigueur à la date de versement. La rente
obtenue sera acquise et ne pourra jamais être modifiée.

• Deuxième formule : une compagnie B propose que les versements faits par l’assuré
soient capitalisés au taux technique au moment du versement pendant 8 ans mais que
la rente ne serait connue qu’au moment de départ en retraite

Selon vous quel assureur aura la plus petite PM au 31/12/2018 sachant que :

• L’assuré est né 20/06/1978 et il souhaite partir en retraite en 2028
• Le taux technique dans les deux compagnies est le même égal à 2%
• L’âge de calcul est obtenu par différence de millésime et il n’y a pas d’extrapolation
des PM
• Pas de rémunération
• L’assuré effectue un versement de 100000 au 1er janvier 2018 et qui prend effet au 1er
janvier 2018
• Il n’y a pas de frais

Quelles garanties implicites apparaissent dans la première formule ?

On choisira le sexe féminin pour cet exercice

On rappelle que la Pm est calculée comme suit :

???????? = ???????????????????????????????????????????? − ????????????????????????????????é

Versement libre donc l’assuré n’a pas d’engament de payer des cotisations donc

????????????????????????????????é = 0
L’assuré est âgé de :
???? = 2018 − 1978 = 40
1ère formule :

L’assuré partira en retraite en 2028, soit dix ans plus tard, donc l’âge de la retraite est 50 ans.
En 2018, la rente résultant du versement net est déterminée comme suit :
100000
????=
????51
????40

L’assuré a une rente garantie au moment du versement. Pour déterminer cette rente, l’assureur
a déterminé au moment du versement le tarif à l’aide des commutations et du taux technique
du moment. De fait, la rente proposée intègre implicitement une garantie de taux et une
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