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TRAVAUX DIRIGES - CORRECTION

METHODES LINEAIRES I2


TD N°4


REVISIONS




Auteur: H. LAZARD-HOLLY




Cours Méthodes Linéaires – 3IL I2 Version 1.1 : 15 décembre 2020
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EXERCICE 1 : FORMES QUADRATIQUES

1. On considère la matrice symétrique
???? ????
????=( )
???? ????
Pour tout vecteur
????
???? = (???? )

Donner la formule de la forme quadratique ???? en fonction de ????, ????, ????, ????, ????

???? (????, ????) = ???? ???????????? = 〈????, ????????〉

2. On choisit la forme quadratique ????(????, ????) = 41???? 2 + 60???? 2 + 24????????
a. Identifier la matrice M associée à Q
b. Calculer le polynôme caractéristique ???? (????) = det(???? − ???????? ) où I est la matrice
identité et trouver ses deux racines qui sont les valeurs propres de M.
c. En déduire un encadrement de ????(????, ????)/(???? 2 + ???? 2 ) si ???? n’est pas nul.
d. Trouver le minimum de ???? (????, ????) sous la contrainte ???? + ???? = 1 .

SOLUTION

1. On écrit
???? ???????? + ????????
???? (????, ????) = 〈(???? ) , ( )〉 = ???????? 2 + ???????? 2 + 2????????????
???????? + ????????
2. De la question précédente, on déduit que
a. On a
41 12
????=( )
12 60
b. On a

41 − ???? 12
????(????) = det ( ) = (41 − ????)(60 − ????) − 122 = ????2 − 101 ???? + 2316
12 60 − ????
Donc on résout ce polynôme de degré 2 en calculant le discriminant
Δ = 1012 − 4 × 2316 = 937
101 − √937 101 + √937
????1 = ≈ 35,2 ; ????2 = ≈ 65,8
2 2

3. Selon un théorème de diagonalisation des matrices symétriques, les deux valeurs
propres donnent l’encadrement recherché.
En effet, la matrice admet une base orthonormée (????1 , ????2 ) de vecteurs propres associés
aux deux valeurs propres pour laquelle
〈????, ????????〉 = ????1 〈????, ????1 〉2 + ????2 〈????, ????2 〉2 ; ‖????‖ 2 = 〈????, ????1 〉2 + 〈????, ????2 〉2
4. On utilise la méthode de Lagrange sachant que


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grad〈????, ????????〉 = 2???????? ; grad 〈????, ( )〉 = ( )
1 1
On obtient pour un multiplicateur de Lagrange ???? à trouver la proportionnalité des
gradients :
1 1
???????? = ???? ( ) ⇒ ???? = ????????−1 ( )
1 1
En utilisant la contrainte pour trouver ???? :
1 1 1
1 = 〈????, ( )〉 = ???? 〈( ) , ????−1 ( )〉
1 1 1
Avec
1 60 −12
????−1 = ( )
2316 −12 41
Donc
1 1 48
????−1 ( ) = ( )
1 2316 29
1 1 1 77
= 〈( ) , ????−1 ( )〉 =
???? 1 1 2316
On en déduit que
1 48
????= ( )
77 29
Donc
48 29 41 × 482 + 60 × 292 + 24 × 48 × 29 2316
( )
min ???? ????, ???? = ???? ( , ) = =
????+????=1 77 77 772 77

EXERCICE 2 : DROITE DE REGRESSION LINEAIRE

On considère la série chronologique de trois valeurs dépendant d’un paramètre ???? variable

???? ( 1 ) = 1 ; ????( 2 ) = ???? ; ???? ( 3 ) = 3

1. Calculer les coefficients de la droite de régression linéaire de cette série en fonction
de ????.
2. Calculer l’écart quadratique SSR obtenu en fonction de ????.
3. Justifier pourquoi cet écart est nul lorsque ???? = 2.
4. Calculer le coefficient de détermination en fonction de ????.

SOLUTION

1. On forme la matrice M et le vecteur A du cours avec ????1 (????) = 1 , ????2 (????) = ????(????) = ???? .

1+????+3 4+????
????=( )=( )
1 + 2???? + 9 10 + 2????
1+1+1 1+2+3 3 6
????=( 2 2 2) = ( )
1+2+3 1 +2 +3 6 14
Donc ????̂ = ????1 + ????2 ???? avec




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1 14 −6 1 14(4 + ???? ) − 6(10 + 2???? ) ????−2
???? 4+????
( 1 ) = ????−1 ???? = ( )( )= ( )=( 3 )
????2 6 −6 3 10 + 2???? 6 −6(4 + ???? ) + 3(10 + 2???? )
1
2. D’après le cours

????−2
2 2 2 2 2) 4+????
???????????? = ‖????‖ 〈 〉
− ????, ???????? = ‖????‖ 〈 〉 (
− ????, ???? = 1 + ???? + 3 − 〈( 3 ) , (10 + 2???? )〉
1
2
????−2 2???? − 8???? + 8 2
= 10 + ???? 2 − (4 + ???? ) − (10 + 2???? ) = = (???? − 2)2
3 3 3
3. Pour c=2, la série est située sur la droite y=x, qui est donc aussi sa droite de
régression linéaire.

4. On a
1+????+3 ????+4
????̅ = =
3 3
Donc
3 3
(???? + 4)2
???????????? = ∑ (????(????) − ????̅ )2 = ∑ ???? (???? )2 2 2
− 3????̅ = 10 + ???? −
3
????=1 ????=1
30 + 3???? 2 − ???? 2 − 8???? − 16 2???? 2 − 8???? + 14 2
= = = (???? − 2)2 + 2
3 3 3
Ce qui donne

(???? − 2)2 3
????2 = 1 − =
(???? − 2 ) + 3 (???? − 2)2 + 3
2




EXERCICE 3 : REGRESSION LOGISTIQUE

Compléter le fichier Excel « regr_logist_primes_32 » du corrigé du TD n°2 en calculant le
rapport de vraisemblance Λ .

Pour cela :

1. Trouver grâce à l’expression du gradient de la log-vraisemblance le coefficient ????0 qui
maximise la vraisemblance pour la loi de probabilité

logit(????(1|????)) = ????0

2. Calculer la valeur Λ0 de la log-vraisemblance lorsque logit(????(1|????)) = ????0
3. En déduire la valeur de Λ = 2(L − Λ0 ) où ????est la log-vraisemblance maximale déjà
calculée dans le fichi...