22/06/2020 Espaces vectoriels, applications linéaires, dimension
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Espaces vectoriels, applications linéaires, dimension
???? désigne le corps ℝ ou ℂ .

Structure d'espace vectoriel
On appelle espace vectoriel sur ???? (ou ????-espace vectoriel) un ensemble E muni de deux lois
:
une loi interne, notée +, telle que (E, +) soit un groupe commutatif. L'élément nul est
noté 0E .
une loi externe, notée ⋅ , qui est une application de ???? × E dans E vérifiant :
1. ∀(α, β) ∈ ????2 , ∀x ∈ E, (α + β) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x .
2. ∀α ∈ ????, ∀(x, y) ∈ E 2 , α ⋅ (x + y) = α ⋅ x + α ⋅ y .
3. ∀(α, β) ∈ ????2 , ∀x ∈ E, α ⋅ (β ⋅ x) = (αβ) ⋅ x .
4. ∀x ∈ E, 1 ⋅ x = x.
5.

Famille de vecteurs
Une combinaison linéaire de la famille finie de vecteurs (x1 , … , xn ) de E est un vecteur
x ∈ E s'écrivant x = ∑ α i x i où les α i sont des scalaires (des éléments de ????).
n

i=1

Une combinaison linéaire d'une famille quelconque (xi )i∈I est un vecteur x s'écrivant
x = ∑ α i x i où tous les α i , sauf un nombre fini, sont nuls.
i∈I

Une famille finie de vecteurs (x1 , … , xn ) est libre si, pour tout choix de α1 , … , αn ∈ ????,
n


αi xi = 0 ⟹ ∀i ∈ {1, … , n}, α i = 0.
∑
i=1



Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre.
Une famille qui n'est pas libre est une famille liée.
Une famille (xi )i∈I est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire des
(x i )i∈I .


Sous-espaces vectoriels
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si F est non-vide et si F est stable par
+ et ⋅ . Dans ce cas, F est lui-même un espace vectoriel.


Caractérisation des sous-espaces vectoriels : Une partie F de E est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si les 3 propriétés suivantes sont vérifiées :
1. 0E ∈ F ;
2. Pour tous (x, y) ∈ F 2 , x + y ∈ F ;
3. Pour tout x ∈ F et tout λ ∈ ????, λ ⋅ x ∈ F .

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
Si X est une partie de E , il existe un sous-espace vectoriel de E contenant X qui est le plus
petit possible (pour l'inclusion). On l'appelle le sous-espace engendré par X et on le note
vect(X ) .
Si X = {x1 , … , xn }, alors vect(X ) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs
x1 , … , xn .


Somme de sous-espaces vectoriels
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Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E . On appelle somme de F et G l'espace
vectoriel noté F + G défini par

F + G = {x + y; x ∈ F , y ∈ G}.


Deux sous-espaces F et G sont en somme directe si la décomposition de tout vecteur de
F + G comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G est unique. On note alors
F ⊕ G.


Proposition : Deux sous-espaces F et G sont en somme directe si et seulement si
F ∩ G = {0} .


On dit que F et G sont supplémentaires dans E s'ils sont en somme directe et si
F ⊕ G = E .
Plus généralement, on définit la somme de p sous-espaces vectoriels F1 , … , Fp de E par

F1 + ⋯ + Fp = {x 1 + ⋯ + x p ; x 1 ∈ F1 , … , x p ∈ Fp }.


C'est un sous-espace vectoriel de E .
La somme F1 + ⋯ + Fp est directe si la décomposition de tout vecteur de F1 + ⋯ + Fp
sous la forme x1 + ⋯ + xp avec xi ∈ Fi est unique. Ceci revient à dire que si
x 1 + ⋯ + x p = 0 E avec x i ∈ Fi , alors x i = 0 .

Attention! On ne peut pas caractériser le fait que F1 , … , Fp soient en somme directe en
vérifiant que Fi ∩ Fj = {0E } si i ≠ j.

Applications linéaires
Une application f : E → F est appelée une application linéaire si, pour tous x, y ∈ E et
tous λ, μ ∈ ???? , on a

f (λx + μy) = λf (x) + μf (y).


On note (E, F ) l'ensemble des applications linéaires de E dans F , et (E) si E = F . Une
application linéaire de E dans E s'appelle aussi un endomorphisme de E .
Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire. La composée d'applications
linéaires est linéaire.
On dit qu'une application linéaire f : E → F est un isomorphisme si elle est bijective. La
réciproque d'un isomorphisme est linéaire.
L'image directe d'un sous-espace vectoriel de E par une application linéaire est un sous-
espace vectoriel de F . L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F par une
application linéaire est un sous-espace vectoriel de E .
On appelle noyau de l'application linéaire f ∈ (E, F ) le sous-espace vectoriel de E

ker(f ) = {x ∈ E; f (x) = 0}.



Théorème : f ∈ (E, F ) est injective si et seulement si ker(f ) = {0} .

On appelle image de l'application linéaire f ∈ (E, F ) le sous-espace vectoriel de F


Im(f ) = {f (x); x ∈ E}.


Si (x i )i∈I est une famille génératrice de E , alors Im(f ) = vect(f (x i ); i ∈ I } .

Symétries et projections
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E . On appelle projecteur sur F
parallèlement à G l'application linéaire p définie sur E par p(z) = x où z ∈ E se décompose
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uniquement en z = x + y avec x ∈ F et y ∈ G . On a alors Im(p) = F et ker(p) = G .

Caractérisation des projecteurs : Un endomorphisme p ∈ (E) est un projecteur si et
seulement si p ∘ p = p . L'application p est alors le projecteur sur Im(p) parallèlement à
ker(p).


Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E . On appelle symétrie par rapport à F
parallèlement à G l'application linéaire s définie sur E par s(z) = x − y où z ∈ E se
décompose uniquement en z = x + y avec x ∈ F et y ∈ G. On a alors ker(s − I dE ) = F et
ker(s + I d E ) = G .


Caractérisation des symétries : Un endomorphisme s ∈ (E) est une symétrie si et
seulement si s ∘ s = I dE . L'application s est alors la symétrie par rapport à ker(s − I dE )
parallèlement à ker(s + I dE ).

On fixe E, F des ???? -espace vectoriels.
Base
On appelle base de E toute famille libre et génératrice de E .
Si  = (xi )i∈I est une base de E , alors tout x ∈ E s'écrit de façon unique comme
combinaison linéaire

x = αi xi .
∑
i∈I



Les scalaires (αi )i∈I s'appellent les coordonnées de x dans la base .
Si (ei )i∈I est une base de E et (fi )i∈I est une famille de F , alors il existe un unique
u ∈ (E, F ) tel que u(e i ) = fi pour tout i ∈ I . De plus,

u est injective si et seulement si (fi )i∈I est une famille libre de F ;

u est surjective si et seulement si (fi )i∈I est une famille génératrice de F ;

u est bijective si et seulement si (fi )i∈I est une base de F ;


Espace de dimension finie
On dit que E est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.

Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de E , on peut e...