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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: gʔʔraudkgb
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 157
Taille Size: 6.78 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 22/05/2020 - 23:00:45
Uploadeur Uploader: gʔʔraudkgb (Profil)
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

Chapter 7

Intégrales curvilignes -Intégrales de
surface

Dans tout ce chapitre n ∈ {2, 3}.

7.1 Intégrales Curvilignes
7.1.1 Courbes paramétrées

Définition 7.1.1 Soit k ∈ N ∪ {∞}
• On appelle arc paramétré de classe C k de Rn toute application
ϕ : I −→ Rn de classe C k où I est un intervalle donné.
On note ϕ ∈ C k (I, Rn ).
• Soit ϕ ∈ C k (I, Rn ). On appelle courbe paramétrée de (ou associé à) ϕ le
sous-ensemble C de Rn défini par C = ϕ(I) i.e.

C = {x ∈ Rn , ∃t ∈ I, x = ϕ(t)} = {ϕ(t), t ∈ I}.

On parle aussi de support de ϕ ou de la trajectoire de ϕ .
On dit que l’arc parametré ϕ est un paramétrage de la courbe C et que la
courbe paramétré C admet une représentation paramétrique l’arc paramétré
ϕ.
Par abus de langage, on parlera de courbe paramétrée de classe C k pour
désigner une courbe paramétrée admettant pour représentation paramétrique
un arc paramétré de classe ϕ ∈ C k .

Exemple 7.1.1 1. Soit f ∈ C k (I, R), k ∈ N ∪ {∞}. L’application

ϕ : I −→ R2 , x 7−→ (x, f (x))

est un arc paramétré de classe C k de R2 et la courbe paramétrée as-
sociée est le graphe de f .


112
7.1. INTÉGRALES CURVILIGNES 113


2. Dans le plan, un paramétrage de la droite passant par le point de co-
ordonnées (a, b) et dirigée par le vecteur (α, β) est donné par:

ϕ : t ∈ R 7−→ (αt + a, βt + b).

3. Dans l’espace, un paramétrage de la droite passant par le point de
coordonnées (a, b, c) et dirigée par le vecteur (α, β, γ) est donné par:

ϕ : t ∈ R 7−→ (αt + a, βt + b, γt + c).

4. Dans le plan, un paramétrage du cercle de centre (a, b) et de rayon R
est donné par ϕ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (R cos t + a, R sin t + b).
5. Etant donné deux réels R1 > 0, R2 > 0, la courbe paramétrée dont un
paramétrage est

ϕ : t ∈ [0, 2π] −→ (R1 cos t + a, R2 sin t + b)

est une ellipse dans le plan, centrée en (a, b), et dont les axes sont les
axes de coordonnées.

Définition 7.1.2 (Extrémités d’une courbe parametrée)
2
Soient I un intervalle d’extremités a et b avec (a, b) ∈ R , a < b et C la
courbe paramétrée de Rn dont un paramétrage est ϕ ∈ C(I, Rn ).
• Si ϕ admet une limite A ∈ Rn , à droite en a, et une limite B ∈ Rn , à
gauche en b, alors A et B sont appelés les extremités de la courbe C.
• Lorsque les deux extrémités d’une courbe C sont égales, on dit que la
courbe C est fermée.

Exemple 7.1.2 L’image de l’arc paramétrée ϕ : t 7→ [ −π π
2 , 2 [−→ (cost, sint)
est une courbe parametrée qui a pour extrémité A(0, −1) et B(0, 1).
Notons que l’extremité B n’appartient pas à cette courbe.
L’image de l’arc est ϕ : t ∈]0, 2π[−→ (cos t, sin t) est une courbe parametrée
fermée.

7.1.2 Integrales curviligne d’une fonction de Rn −→ R

Définition 7.1.3 Soit f une fonction continue sur un ouvert U ⊂ Rn à
valeurs dans R et soit C une courbe dont un paramétrage ϕ ∈ C 1 ([a, b], U ).
On
R appelle intégrale
R curviligne
Rb de f le long de la courbe C, et on note

C f dτ , le réel C f dτ = a f (ϕ(t))kϕ (t)kdt. R Rb
Signalons que la longueur de la courbe C est long(C) = C 1dτ = a kϕ′ (t)kdt.


Hippolyte HOUNNON, PhD
7.1. INTÉGRALES CURVILIGNES 114


Exemple 7.1.3 1. Calculer le périmètre d’un cercle de rayon (a, b) et
de rayon R.
2. Calculer la longueur du segment curviligne d’équation y = f (x) entre
les abscisses a et b où f est une fonction de classe C 1 sur un intervalle
fermé d’extrémités a et b.

Application en physique

Considerons un fil métallique dont la forme épousse celle d’une courbe
paramétrée C et dont la densité linéique en un point (x, y) ∈ C est
ρ(x, y) ∈ R∗+ . La masse M de ce fil et les coordonnées(xG , yG ) du centre
de gravité de ce fil sont données par les intégrales
Z Z Z
1 1
M= ρdτ, xG = xρ(x, y)dτ et yG = yρ(x, y)dτ
C M C M C
Exemple 7.1.4 Déterminer la masse et le centre de gravité d’un fil métallique
homogène ayant la forme d’un arc de cercle paramétré par
ϕ : t ∈ [0; π] −→ (cos t, sin t).
Réponse:
R Soit ρ0 Rla densité Rlinéique de ce fil métalique. On a
π
M = C ρR0 dτ = ρ0 C dτ = Rρ0 0 dt = ρ0 π
π π
xG = ρ01π 0 ρ0 cos tdt = ρ0 0 cos tdt = 0
Rπ Rπ
yG = ρ01π 0 ρ0 sin tdt = π1 0 sin tdt = π1 [− cos t]π0 = π2

7.1.3 Intégrale curviligne des fonctions de Rn −→ Rn

Nous considérons dans cette partie, l’espace euclidien Rn muni du pro-
duit scalaire canonique.
Définition 7.1.4 Soit f une application continue sur un ouvert U de Rn
et à valeurs dans Rn . Soit C une courbe paramétrée dont un paramétrage
est ϕ ∈ C 1 ([a, b], U ).
ROn appelleR intégraleR curviligne de f le long Rde la courbe R b C et on′ note
C f dl ou C f ou C f dτ , le réel défini par C f dl = a f (ϕ(t)).ϕ (t)dt.
Pour tout t ∈ [a, b], le réel f (ϕ(t)).ϕ′ (t) est le produit scalaire des vecteurs
f (ϕ(t)) et ϕ′ (t).
R
Justifions que C f dl est bien défini.
Considérons la fonction
φ : [a, b] −→ Rn
t 7−→ f [ϕ(t)]

Hippolyte HOUNNON, PhD
7.1. INTÉGRALES CURVILIGNES 115


Cette fonction φ = f ◦ ϕ est continue sur [a, b] car ϕ est continue sur [a, b]
et f continue sur U et pour tout t ∈ [a, b] ϕ(t) ∈ U .
De plus la fonction ϕ′ est continue sur [a, b] car elle est de classe C 1 sur
[a, b]. D’où la fonction
F : [a, b] −→ Rn × Rn −→ R
t 7−→ (φ(t), ϕ′ (t)) 7−→ φ(t) · ϕ′ (t)
est continue sur [a, b].
Rb R
Par conséquent a F (t)dt est bien définie c’est-à-dire C f dl a un sens .


Exemple 7.1.5 Soit la fonction f définie par
f: R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (xy, x + y)
On considère le segment de droite C joignant les points A = (0, 1) et B =
(1, 1) orienté de A vers B, et le demi-cercle C1 joignant A et B, et orienté
de A versR B dans Rle sens trigonométrique .
Calculer C f dl et C1 f dl.
Réponse: Un paramétrage de C est ϕ : t ∈ [0, 1] −→ (t, 1) ∈ R2 .
Pour tout t ∈ [0, 1] on a:

f (ϕ(t)) · ϕ′ (t) = f (t, 1) · (1, 0) = (t, t + 1) · (1, 0) = t.

D’où Z Z Z
1 1
′ 1
f dl = f (ϕ(t)) · ϕ (t)dt = tdt = .
C 0 0 2




Hippolyte HOUNNON, PhD
7.1. INTÉGRALES CURVILIGNES 116


Propriétés 7.1.1 • Linéarité
Soit α, β deux réels, et f, g deux fonctions continues sur un ouvert U de
Rn et à valeurs dans n
Z R . Alors on a Z Z
(αf + βg)dl = α f dl + β gdl
C C C
• Relation de Chasles:
Soit C une courbe paramétrée dont un paramétrage ϕ est continue sur
[a, b] et de classe C 1 par morceaux sur [a, b] (c’est à dire qu’il existe une
subdivision a = c1 < c2 < c3 < · · · < cn = b de [a, b] telle que pour tout
k ∈ {1, · · · , n − 1}.
l’application ϕ soit de classe C 1 sur [ck , ck+1 ], Désignons par Ck la courbe
de classe C 1 de Rn dont un paramétrage est la restriction de l’application
ϕ à [ck , ck+1 ]. Alors
Z n−1 Z
X
f dl = f dl.
C k=1 Ck

Exemple 7.1.6 Calculer l’intégrale curviligne de la fonction f définie
par,
f : R2 7−→ R2
(x, y) 7−→ (xy, x + y)
le long du carré de sommets O = (0, 0), A = (0, 1), B = (1, 1), et
D = (1, 0) parcouru dans le sens OABD.
RSoit C cette
R courbe. ROn a R R
C f dl = [OA] f dl + [AB] f dl + [BD] f dl + [DO] f dl.
Un paramétrage du segment [OA] est
ϕ1 : t ∈ [0, 1] 7−→ (0, t) ∈ R2 .
Pour tout t ∈ [0, 1], f (ϕ1 (t)) · ϕ′1 (t) = f (0, t) × (0, 1) = t
R Rb R1
D’où [OA] f dl = a f (ϕ1 )(t) · ϕ′1 (t)dt = 0 tdt = 12
R 1
AB f dl = 2
Un paramétrage de [BD] est ϕ2 : t ∈ [0, 1] 7−→ (1, 1 − t) ∈ R2
Pour tout t ∈ [0, 1],

R 2 (t) = f (1,R1 − t) · (0, −1) =
f (ϕ2 (t)) · ϕ (1 − t, 2 − t) · (0, −...

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