TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2014/2015 - J. Aurouet
- Fonctions à plusieurs variables -

 TOPOLOGIE :
- Défs : Soit a ∈ Rn , r > 0 et Ω, U, F des parties de Rn .
- Boule ouverte centrée en a de rayon r : B(a, r) = {x ∈ Rn /||x − a|| < r}.
- Boule fermée centrée en a de rayon r : B(a, r) = {x ∈ Rn /||x − a|| ≤ r}.
- U est ouvert ⇔ ∀a ∈ U, ∃r > 0, ∀x ∈ Rn , ||x − a|| < r ⇒ x ∈ U .
- F est fermé ⇔ Rn F est ouvert ⇔ ∀(xn )n∈N ∈ F N , lim xn = l ⇒ l ∈ F .
Attention : "pas ouvert" n'implique pas "fermé".
- Ω bornée ⇔ Ω et incluse dans une boule.
- Ω est compacte ⇔ Ω est fermée et bornée.
- Prop : - Une union d'ouverts est toujours ouverte.
- Une intersection nie d'ouverts est ouverte.
- Une intersection de fermés est toujours fermée.
- Une union nie de fermés◦
est fermée. ◦
- Défs : - Intérieur : a ∈ Ω ⇔ ∃r > 0, B(a, r) ⊂ Ω. Ω est le plus grand ouvert
contenu dans Ω et est aussi l'union de tous les ouverts contenus dans Ω.
- Extérieur : a est extérieur à Ω ⇔ a est intérieur au complémentaire de Ω
dans Rn ⇔ ∃r > 0, B(a, r) ∩ Ω = ∅.
- Adhérence : a ∈ Ω ⇔ ∀r > 0, B(a, r) ∩ Ω 6= ∅. Ω est le plus petit fermé
qui contient Ω et est aussi l'intersection de tous les fermés contenant Ω.
◦
- Frontière (ou bord) : ∂Ω = Ω Ω.
a est au bord de Ω ⇔ ∀r > 0, B(a, r) ∩ Ω 6= ∅ et B(a, r) ∩ (Rn Ω) 6= ∅.

 CONTINUITÉ : Soit U un ouvert de Rn et f : U → R. Soit a ∈ U .
- Déf : f est continue en a si et seulement si limx→a f (x) = f (a)
⇔ ∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ U, ||x − a|| < r ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
⇔ ∀ε > 0, ∃r > 0, f (B(a, r) ∩ U ) ⊂ B(f (a), ε)
- Prop : Si f est continue en a alors pour toute courbe paramétrée γ (continue)
et telle que γ(t0 ) = a on a limt→t0 f (γ(t)) = f (a).
Astuce : Pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en a on pourra
chercher deux chemins γ1 et γ2 tels que limt→t0 f (γ1 (t)) 6= limt→t0 f (γ2 (t)).
- Prop : L'ensemble C 0 (U, R) des fonctions continues sur U est une R-algèbre
(i.e. R-ev + anneau) donc stable par combinaison linéaire et produit.
- Déf : f est bornée sur U ⇔ ∃M > 0, ∀x ∈ U, |f (x)| < M .
- Thrm : Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses
bornes (i.e. ∃x0 ∈ U, supx∈U f (x) = f (x0 )).

 DÉRIVÉES PARTIELLES : Soit U un ouvert de Rn , f ∈ C 0 (U, R) et a ∈ U .
- Déf : f admet des dérivées partielles en a
∂f
⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, ∂x i
(a) existe.
⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, x 7→ f (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., an ) est dérivable.
⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, limh→0 f (a1 ,...,ai−1 ,ai +h,a
h
i+1 ,...,an )−f (a)
existe.
- Déf : Si f admet des dérivées partielles en a alors le gradient de f en a est le
vecteur :  
∂f ∂f
∇a f = (a), ..., (a) ∈ Rn
∂x1 ∂xn

1
- Déf : f est de classe C 1 sur U si pour tout entier 1 ≤ i ≤ n, a 7→ ∂f
∂xi (a) est
continue sur U .
- Prop : Si f est C 1 alors elle admet un développement limité à l'ordre 1
en tout point a : n
X ∂f
f (a + h) = f (a) + (a)hi + o0 (||h||)
i=1
∂xi

ou f (a + h) = f (a)+ < ∇a f, h > +o0 (||h||)
- Prop (composées) : Ici U est un ouvert de R2 .
- Si γ : I → U, t 7→ (x(t), y(t)) est une fonction vectorielle de classe C 1 et
f ∈ C 1 (U, R) alors f ◦ γ : R → R est de classe C 1 et :
∂f ∂f
∀t ∈ I, (f ◦γ)0 (t) =< ∇γ(t) f, γ 0 (t) >= (x(t), y(t))·x0 (t)+ (x(t), y(t))·y 0 (t)
∂x ∂y
- Si g et h sont deux fonctions des variables u et v et de classe C 1 alors
f˜ : (u, v) 7→ f (g(u, v), h(u, v)) est C 1 et :
∂ f˜ ∂f ∂g ∂f ∂h
(u, v) = (g(u, v), h(u, v)) (u, v) + (g(u, v), h(u, v)) (u, v).
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂ f˜ ∂f ∂g ∂f ∂h
(u, v) = (g(u, v), h(u, v)) (u, v) + (g(u, v), h(u, v)) (u, v).
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
- Déf : f est de classe C 2 ⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, ∂x
∂f
est C 1 .
i
- Théorème de Schwarz : Si f est de classe C 2 alors :
∂2f ∂2f
∀1 ≤ i, j ≤ n, =
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

 PROBLÈMES D'EXTREMUM :
- Déf : a est un point critique de f ⇔ ∇a f = ~0 ⇔ ∀1 ≤ i ≤ n, ∂x ∂f
(a) = 0.
- Thrm : Si a est un extremum local de f alors
i
a est un point critique.
Notations : Si f ∈ C 2 (R2 , R), on pose r = ∂∂ 2 fx (a), t = ∂∂ 2fy (a) et s = ∂x∂y
2 2
∂2f
(a).
- Thrm : On suppose que a est un point critique de f :
- Si rt − s2 > 0 alors a est un extremum local de f (min si r > 0, max si r < 0).
- Si rt − s2 < 0 alors a n'est pas un extremum local de f (point selle).
- Si rt − s2 = 0, on ne peut pas conclure.

 GÉOMÉTRIE :
Ici S est une surface d'équation cartésienne f (x, y, z) = 0 et a ∈ S .
- Déf : v ∈ Rn est tangent à S en a ⇔< ∇a f, v >= 0. Le gradient est toujours
normal au plan tangent et donc normal à la surface en ce point.
- Prop : L'équation cartésienne du plan tangent à S en a = (x0 , y0 , z0 ) est :
∂f ∂f ∂f
(a)(x − x0 ) + (a)(y − y0 ) + (a)(z − z0 ) = 0
∂x ∂y ∂z
Ici S est dénie par l'équation cartésienne z = g(x, y) où g ∈ C 2 (R2 , R) et
(x0 , y0 , z0 ) ∈ S .
Notations : On pose r = ∂∂2 xg (x0 , y0 ), t = ∂∂2 yg (x0 , y0 ) et s = ∂x∂y
2 2
∂2g
(x0 , y0 ).
- Thrm : Si (x0 , y0 ) est un point critique de g alors (x0 , y0 , z0 ) est un point
régulier de S donc le plan P0 tangent à S en ce point existe et :
- Si rt − s2 > 0 alors S reste du même côté de P0 .
- Si rt − s2 < 0 alors P0 traverse S .

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