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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: micaellatorre
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 18
Taille Size: 1.30 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 14/02/2020 - 18:50:36
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

Matematica Discreta


INDUCCION, CONJUNTOS Y FUNCIONES:
Inducción:
“Razonamiento que permite demostrar funciones de n variables, donde n puede
tener infinidad de valores enteros, mediante 2 pasos. El primero #paso_base,
demuestra que la función es verdadera para algún valor. El segundo
#paso_inductivo, demuestra que es verdadera para los valores siguientes al valor
inicial.”
Sea P(n) una función proposicional con n ∈ N, suponemos:
1) P(1) es verdadero. #paso_base
2) Para K>=1, P(k) => P(k+1). #paso_inductivo
Esto prueba que P(n) es verdadero para todo n c N.

Principio de Buen Ordenamiento:
“Todo subconjunto no vacío tiene un elemento inicial.”
Si S ∈ N
1) 1 ∈ S
2) h ∈ S => h+1 ∈ S

Inducción Fuerte:
Sea P(n) una función proposicional, con n ∈ N y n ≥ n 0, para un cierto n0 ∈ N.
Suponga que:
1) P(n0) es verdadera.
2) Para todo k > n0, si P(k′) es verdadero para todo k ′ tal que n0 ≤ k ′ < k, entonces
P(k) es verdadero
Entonces P(n) es verdadero para todo n ≥ n0.

Conjuntos:
“Colección de elementos, cuyas propiedades definen el conjunto.”
Propiedades Generales de los Conjuntos:
*) Cardinal: |X| es la cantidad de elementos del conjunto X (conj. finito)
*) Subconjunto: X ⊆ Y, cuando todo elemento de X está dentro de los elementos de
Y
*) Subconjunto Propio: X ⊂ Y, cuando X no cubre todos los elementos de Y
*) Conjunto por Partes: P(X) conjunto de todos los subconjuntos de un elemento x
“Si |X| = n, entonces |P(X)| = 2n ∀
n ≥ 0”

*) Teoria de Conjuntos:
X ∪ Y ≡ {x | x ∈ X ∨
Unión
x ∈ Y}
X ∩ Y ≡ {x | x ∈ X ∧
Intersección
x ∈ Y}
X − Y ≡ {x | x ∈ X ∧
Diferencia
x ∈/ Y}

*) Conjuntos Disjuntos: X ∩ Y = ∅, cuando al unir dos conjuntos no comparten
elementos.
*) Conjuntos Disjuntos de a Pares: cuando en X e Y son disjuntos en una colección
de conjuntos S.
*) Conjunto Universal: U, conjunto que incluye todos los subconjuntos posibles.
*) Complemento de X: X¯ o Xc conjunto resultante de restar X de U.
*) Partición de X: colección de conjuntos (S) no vacíos en la que cada elemento de X
pertenece a uno de los miembros de esta colección de conjuntos disjuntos de a
pares.
*) Producto Cartesiano: X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y).
X × Y ≡ {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y}

Funciones:
“Dados dos conjuntos X e Y, la función f es un subconjunto de X × Y donde para
cada x ∈ X, existe solo 1 y ∈ Y, tal que (x, y) ∈ f.”

f : X → Y. Donde X es dominio de f, y el conjunto {y | (x, y) ∈ f } es la imagen de f.

Es función cuando:
*) Todos los elementos de X se proyectan en Y.
*) Todo elemento de X tiene solo 1 elemento de Y.
Las funciones con dominio e imagen en los reales pueden representarse con en
gráficos cartesianos, trazando puntos en el plano correspondientes a los elementos
de f.

Inyectiva:
“Para cada y ∈ Y existe por lo menos un x ∈ X donde f(x) = y”
*Si trazamos una línea recta horizontal en un gráfico de una función inyectiva, esta
solo corta la función en un solo punto ya que, para todo x 1, x2 ∈ X se cumple que
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

Sobreyectiva:
“Cuando la imagen de f ocupa todo el conjunto Y”

Biyectiva:
Cuando la función es inyectiva y sobreyectiva.

Inversa: f −1
Las funciones biyectivas son capaces de tener inversa que en el caso de ser f: X → Y
, su inversa seria de Y → X, probando entonces {(y, x) | (x, y) ∈ f }.

Composición:
Teniendo g : X → Y y f : Y → Z. f compuesta en g, denotada f ◦ g, es la función de X
→ Z definida por:
(f ◦ g) (x) = f(g(x)).

Operador Binario:
Operación que necesita de 2 argumentos:
*) Interno: AxA → A
*) Externo: AxB → A / BxA → A / AxA → B

Operador Unitario:
Operador lineal de A → A.
RELACIONES BINARIAS
Relación Binaria:
“Una relación binaria de X a Y es un subconjunto del producto cartesiano XxY. Si (x,
y) ∈ R, escribimos xRy”

Dominio:
{x ∈ X | (x, y) ∈ R para algún y ∈ Y}

Imagen:
{y ∈ Y | (x, y) ∈ R para algún x ∈ X}

Digrafo:
“Gráfico que permite visualizar una relación a través de vértices y aristas con
sentido definido. Los vértices representan los elementos de los conjuntos, y las
aristas las relaciones que existen entre estos elementos.”

*) Lazo: cuando un elemento tiene una relación xRx, se representa gráficamente
con un lazo.

Reflexividad:
“Cuando una relación R sobre un conjunto X presenta que (x, x) ∈ R ∀ x ∈ X. En otras
palabras, cuando los elementos del conjunto tienen relación sobre si mismos, por lo que en el
digrafo aparecerán lazos.”

Simetría:
“Una relación R sobre un conjunto X es simétrica cuando ∀ x, y ∈ X, cada (x, y) ∈ R
tiene su (y, x) ∈ R. Es decir, si existe una arista de v a w, también existe una arista de w a v.”

Antisimétrica:
“Cuando en una relación R sobre un conjunto X se da que, para todo x, y ∈ R, si
existe (x, y) ∈ R donde x es distinto de y, entonces (y, x) ∈/ R. Otra forma de identificar antisimetria
es cuando los elementos relacionados, si existen, son iguales ”

Transitividad:
“Una relación R sobre X es transitiva si ∀ x, y, z ∈ X se cumple que si (x, y) ∈ R y (y, z)
∈ R, entonces (x, z) ∈ R. Siempre que exista una arista e1 de v a w, y un e2 de w a r, existe un e3 de
v a r.”

Relaciones de Orden:
“Relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un
conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.”

Orden Parcial: (≤) (R.A.T.)
“Las relaciones de orden, son relaciones binarias donde se pretende ordenar un
conjunto. Una relación de orden parcial es una donde al menos un par de elementos
del conjunto se relacionan entre sí. Una relación R sobre X que es reflexiva,
antisimétrica y transitiva.”

Ordenación de Elementos: x ≼ y
“≼ sugiere orden del conjunto X. Cuando los elementos x, y ∈ X son comparables si
x ≼ y o y ≼ x. Si todo elemento de X es comparable, entonces este conjunto es
de orden total.”

Inversa:
“La inversa de R, denotada R−1 , es la relación de Y a X definida por R−1 = {(y, x) |
(x, y) ∈ R}”

Composición de Relaciones:
“Siendo R1 una relación XRY y R2 una relación YRZ. La composición de R1 y R2,
denotada por R2 ◦ R1, es la relación de X a Z definida por: R2◦R1 = {(x, z) | (x, y) ∈
R1 y (y, z) ∈ R2 para algún y ∈ Y}”

Relación de Equivalencia: (R.S.T.)
“Siendo X un conjunto no vacío y S una partición de X. Se puede definir una relación
sobre X: xRy si y solo si tanto x como y pertenecen a los elementos S de la partición
S. Esto resulta en que R es reflexiva, simétrica y transitiva.”

Clase de Equivalencia:
“Cuando R es una relación de equivalencia sobre X y para cada a perteneciente X se
da que:
[a] ≡ {x ∈ X | xRa}”

Sea R relación de equivalencia sobre X y c, d ∈ X. Si cRd, entonces [c] = [d].

Clase como Partición:
“Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Entonces S = {[a] | a ∈
X}, donde [a] denota la clase de equivalencia de a, es una partición de X.”

Relación Cardinal-Clases:
“Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto finito X. Si cada clase de
equivalencia tiene r elementos, existen |X|/r clases de equivalencia.”
CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Y RETICULADOS
Conjuntos Parcialmente Ordenados: (c.p.o.) (A, ≤)
“Conjunto A con orden parcial ≤, es decir conjunto con relación reflexiva,
antisimétrica y transitiva”

Conjunto Parcialmente Ordenado Dual: (A, R −1 ) (A, >)
“La inversa R−1 de una relación de orden parcial R, se llama dual. Los conjuntos con
este orden son c.p.o. duales.”

Elementos Comparables:
“Dos elementos a, b pertenecen a A, que es un c.p.o. donde se da a ≤ b o b ≤ a.”

Conjunto Linealmente Ordenado:
“Cuando todos los elementos del conjunto A son comparables, su relación ≤ se dice
de orden lineal, total o cadena.”

Orden Parcial del Producto: (≤A×B)
“Sean (A, ≤A) y (B, ≤B) dos c.p.o. Definamos la relación ≤A×B en el conjunto A × B de
la siguiente manera: (a, b) ≤A×B (a′, b′ ) si y sólo si a ≤A a ′ y b ≤B b′. Entonces (A ×
B, ≤A×B) es un c.p.o.”

Orden Lexicográfico: (≺A×B)
“Siendo (A, ≤A) y (B, ≤B) dos c.p.o., ≺A×B es su orden lexicográfico en A×B:
(a, b) ≺A×B (a′, b′) ⇐⇒ a <A a′ || (a = a′ && b ≤B b′)”
(a < b) cuando (A, ≤) es c.p.o. pero a != b y a ≤ b.

Diagrama de Hasse:
“Cuando a un digrafo de un c.p.o.:
1) Le quitan su reflexividad (↺).
2) Le quitan aristas de transitividad.”

Si el c.p.o. es de orden lineal, su diagrama es una línea vertical.
El dual de un c.p.o. tiene el mismo diagrama, pero dado vuelta.

Clasificación Topológica:
“Dado un c.p.o. es necesario a veces un orden lineal (≼) del conjunto para que a ≤
b resulte en a ≼ b. El proceso de transformación es la clasificación topológica.”

Elemento Maximal:
“Siendo (A, ≤) c.p.o. ∃ a ∈ A, llamado elemento máximal de A, si no ∃ c ∈ A / a <
c.”

Elemento Minimal:
“Siendo (A, ≤) c.p.o. ∃ b ∈ A, llamado elemento minimal de A, si no ∃ c ∈ A / b >
c.”
Teniendo un conjunto (A, ≤) c.p.o. con dual, a es maximal del conjunto A, si y solo si
a también es minimal de su dual.

Máximo:
“Siendo (A, ≤) c.p.o. ∃ a ∈ A, llamado máximo de A, si ∃ x ≤ a ∀ x ∈ A.”

Mínimo:
“Siendo (A, ≤) c.p.o. ∃ a ∈ A, llamado mínimo de A, si ∃ x ≥ a ∀ x ∈ A.”

Cotas:
Sea (A, ≤) c.p.o. y B ⊆ A:
1) ∃ a ∈ A, llamado cota superior de B, si b ≤ a ∀ b ∈ B.
1) ∃ a ∈ A, llamado cota inferior de B, si b ≥ a ∀ b ...

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