Terminale S
Les suites Mathématiques




I
Etude globale d'une suite
A Les suites majorées, minorées, bornées
DÉFINITION Suite majorée
La suite (un ) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n
pour lequel la suite est dé nie :

un ≤ M

EXEMPLE

Soit (un ) la suite dé nie par :
1
∗
∀n ∈ N , un =
n
Pour tout entier naturel non nul n, on a :
1
≤1
n
La suite (un ) est donc majorée par 1.

DÉFINITION Suite minorée
La suite (un ) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n
pour lequel la suite est dé nie :

un ≥ m

EXEMPLE

Soit (un ) la suite dé nie par :
1
∀n ∈ N∗ , u n =
n
Pour tout entier naturel non nul n, on a :
1
≥0
n
La suite (un ) est donc minorée par 0.

DÉFINITION Suite bornée
La suite (un ) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

EXEMPLE
1
La suite (un ) dé nie pour tout entier naturel non nul n par un = est à la fois minorée par 0
n
et majorée par 1.
Elle est donc bornée et on peut écrire :

∀n ∈ N∗ , 0 ≤ un ≤ 1


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B Le sens de variation
DÉFINITION Suite croissante
La suite (un ) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est
dé nie :

un+1 ≥ un

EXEMPLE

Considérons la suite (un ) dé nie par son premier terme u0 = 12 et par, pour tout entier
naturel n :
2
un+1 = (un ) + un
On a, pour tout entier naturel n :
2
un+1 − un = (un )
Or, pour tout entier naturel n :
2
( un ) ≥ 0
Ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1 − un ≥ 0
Donc, pour tout n :

un+1 ≥ un

Donc la suite (un ) est croissante.

DÉFINITION Suite décroissante
La suite (un ) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est
dé nie :

un+1 ≤ un

EXEMPLE
Considérons la suite dé nie pour tout entier naturel non nul par :
1
un =
n
Pour tout entier naturel n non nul, on a :

1 1 n − (n + 1) −1
un+1 − un = − = =
n+1 n n (n + 1) n (n + 1)
Or, pour tout entier naturel n non nul :
−1
⩽0
n (n + 1)
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :

un+1 − un ≤ 0

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Soit, pour tout entier naturel n non nul :

un+1 ≤ un

Par conséquent la suite (un ) est décroissante.

DÉFINITION Suite constante
La suite (un ) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel la suite est
dé nie :

un+1 = un
DÉFINITION Suite monotone
La suite (un ) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de
sens de variation).


C Suites arithmétiques et géométriques

1. Suites arithmétiques
DÉFINITION Suite arithmétique
Une suite (un ) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel
n pour lequel elle est dé nie :

un+1 = un + r
r est alors la raison de la suite arithmétique.

EXEMPLE


On considère la suite dé nie par : {
u0 = 1
un+1 = un − 2, pour tout n ∈ N

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.
Cette suite est donc arithmétique de raison −2.

PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0 , la suite est strictement croissante.
Si r < 0 , la suite est strictement décroissante.
THÉORÊME Terme général d'une suite arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r, dé nie à partir du rang p.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

un = up + ( n − p ) r

En particulier, si (un ) est dé nie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

un = u0 + nr

EXEMPLE


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Soit (un ) une suite arithmétique de raison r = −2 et de premier terme u0 = 3 .
On a, pour tout entier naturel n :

un = 3 − 2n

THÉORÊME Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit (un ) une suite arithmétique. La somme S des termes consécutifs de cette suite est égale à :

(Nombre de termes) × (Premier terme + Dernier terme)
S=
2
En particulier :

( n + 1 ) ( u0 + un )
u0 + u1 + u2 + ... + un =
2
EXEMPLE

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r = 8 et de premier terme u0 = 16 .

On a donc, pour tout entier naturel n:

un = 16 + 8n
On souhaite calculer la somme suivante :

S = u0 + u1 + u2 + ⋅ ⋅ ⋅ + u25
On a :

(25 + 1) (u0 + u25 ) 26 × (16 + 16 + 8 × 25)
S= = = 3 016
2 2

Le nombre de te...