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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: HansSanMartin
Type : Classeur 3.6
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Mis en ligne Uploaded: 12/09/2019 - 20:42:38
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Visibilité Visibility: Archive publique
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Description 

FACULTAD DE INGENIERÍA



Guía 1
Análisis Numérico
Profesor: Leonardo Videla

1. Pruebe que toda sucesión convergente de números reales es una sucesión aco-
tada.

2. Considere la sucesión dada por:
n
X 1
sn := 2
.
k=1
k

Obviamente (sn ) es creciente. Pruebe que es acotada superiormente y deduzca
que sn converge.

3. Pruebe que si a, b, c, d son números enteros positivos, y se cumple:
a c
<
b d
entonces
a a+c c
< <
b b+d d
Utilce
√ el resultado previo para construir un algoritmo que aproxime el número
2 mediante una sucesión de números racionales.

4. Considere el polinomio:

f (x) = 7x5 − 3x4 + x2 + 3

(a) Pruebe que éste posee una raíz entre −1 y −0.5.
(b) Pruebe que tal raíz es única (Indicación: puede resultar útil estudiar el
comportamiento de la primera derivada de f y utilicar el teorema de Rolle).

5. Haga tres iteraciones del método de Regula Falsi para aproximar la raíz positiva
del polinomio p(x) = x2 − 2. Utilice como intervalo inicial I = [0, 2].
6. Considere la ecuación ln(x) = 1 − 2x.

(a) Muestre que esta ecuación posee una solución entre x = 0.5 y x = 1.
(b) Encuentre esta solución con 4 dígitos decimales correctos, usando el método
de bisección.

7. Para cada una de las funciones indicadas más abajo, encuentre un intervalo [a, b]
tal que g([a, b]) ⊆ [a, b]. Dibuje el gráfico de las curvas y = g(x) y y = x en tales
intervalos, y verifique que existe un punto fijo allí. Verifique si las iteraciones
de punto fijo (para alguna semilla inicial que ud. debe elegir) convergen o no
convergen. Explique.
 
1 2
(a) g(x) = x+ .
2 x
1
(b) g(x) = x + e−x − .
4
1 2
(c) g(x) = (x + 1)
2
8. Sea c un número real positivo, I = [c, +∞), y f : I 7→ R una función creciente.
Suponga que f cumple:

(a) f (c) = c
(b) |f (x) − f (y)| < |x − y| para todo x, y de I (observe que esto no signfica
que f sea contracción).

Demuestre que para todo x0 > c, las iteraciones dadas por xn+1 = f (xn ) deter-
minan una sucesión decreciente. Pruebe que tal sucesión converge a c

9. En este ejercicio se le pide probar la convergencia√de un algoritmo, conocido
como método de Herón, que aproxima el valor de a para a > 0. Para ello se
le indica seguir los siguientes pasos.

(a) (Resultado auxiliar) Pruebe la desigualdad entre media aritmética y media
geométrica, es decir, demuestre que si x, y son números positivos, entonces:
√ 1
xy ≤ (x + y) .
2

(b) Considere la función f : [ a, +∞) 7→ R definida por:
1 a
f (x) = x+
2 x

Pruebe que si x > a, entonces f (x) < x.

(c) Utilice el punto 9a para probar que f (x) ≥ a.
(d) Observe que f es continua lejos de 0. Utilice este hecho, los puntos 9b y
9c y el teorema sobre convergencia
√ de sucesiones monótonas, para probar
que para cualquier x0 > a, la sucesión definida por:

xn+1 = f (xn )

converge a a.

(e) Pruebe que para x > a:

f (x) − a 1
√ 2 ≤ √ ,
(x − a) 2 a

y utilice esto para probar que:
√ 1 n √
|xn − a| ≤ ( ) |x0 − a|
4a

10. Considere la ecuación f (x) = 2x2 − 5x + 2 = 0, cuyas raíces son x0 = 0.5 y
x1 = 2.0. Se proponen los siguientes métodos iterativos para aproximar dichas
reíces:
2x2n + 2
(a) xn+1 =
5
r
5xn
(b) xn+1 = −1
2
¿Cuál de los métodos propuestos utilizaría para aproximar la raíz x1 .? Justi-
fique.

11. Considere la función g : R 7→ R dada por:
1
g(x) = e−x .
2
Encuentre un intervalo de la forma I = [0, a] con a > 0.1 tal que g mapee I
en sí mismo y tal que sea contractiva allí. Utilice los resultados vistos en clases
para estimar una cota para el número de iteraciones de punto fijo necesarias
para aproximar la solución de e−x = 2x con una precisión de 10−6 cuando se
inicia con x0 = 0.1.

12. Sea g : I 7→ I una función de clase C 1 (I) contractante. Sea α ∈ I el único punto
fijo de g en I. Para x0 ∈ I arbitrario, sean xn+1 = g(xn ). Utilice el teorema del
Valor medio para probar que:
α − xn+1
lim = g 0 (α).
n→∞ α − xn

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