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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Casio fx-CP400
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Description 

Electrostatique

Coulomb (1736 -1806) Gauss (1777 – 1855) Orested (1777 – 1851)


Charges électriques : Q=∬ σ dS ou Q=∭ ρdV avec rho et sigma les densités surfacique
S S
ou volumique de charge.

⃗ 1 q1 q 2
Interaction coulombienne : F1 /2= u
⃗ dans le vide : k = 9E9 USI
4 π ϵ 0 r (1 /2) ² (1 /2)

1 q
Champs électrostatique : Une charge q créé un champs : ⃗
E ( M )= ⃗u ou
4 π ϵ0 r ²
1 q 1 ρdV

E ( M )= Σ i u⃗i ou ⃗
4 π ϵ0 r i ²
E ( M )= ∭
4 π ϵ0 V r ²
⃗u


Une charge q0 dans ce champs subit : ⃗
F=q 0 ⃗
E( M )


Potentiel électrostatique : A partir du champs E, on peut définir le potentiel :


E( M )=−⃗
grad V (M )

1 q
donc : V (M )= 1 q +cste ou V ( M )= Σ i +cste ou
4 π ϵ0 r 4 π ϵ0 r i
1 ρdV
V ( M )= ∭
4 π ϵ0 V r
+cste


Souvent, on prend cste = 0 car le potentiel est nul infiniment loin de la charge.

Energie potentielle électrostatique : d’une charge en M U=q V (M )

Théorème de Gauss (1777-1855) :

E . n⃗ dS soit Φ=∬ ⃗
Le flux sortant d’une surface dS de normale n est : d Φ=⃗ E . ⃗n dS
S


Le flux du champs E crée par une charge ponctuelle q, sortant d’une surface fermée ne contenant
pas q est nul.
Si la surface contient q, le flux vaut q/ε0

q (intérieur )
Soit : Φ=∬ ⃗
E . ⃗n dS=Σ ϵ0
S
Les conducteurs en électrostatique


Champs électrique :

L’intérieur : ⃗
E= ⃗0 V = cste ρ=0

Au voisinage :

Théorème de Coulomb : Au voisinage d’une surface chargée le champs E est perpen à la surface
E= ϵσ n⃗ avec sigma densité surfacique de charge et n normale à la surface
et tel que : ⃗
0


σ²
A la surface : ⃗E= σ n⃗ et pression électrostatique p= ϵ >0 les charges sont poussées
2 ϵ0 0

vers l’extérieur . Possibilité d’émission par effet de champs.

Dans la cavité d’un conducteur : Théorème des écrans : les charges du conducteur donnent un
champs nul dans sa cavité ⃗
E= ⃗0



Energie électrostatique

q1 q2
➔ Charges ponctuelles : Energie potentielle d’interaction : U=
4 π ϵ 0 r (1/ 2)

➔ Distribution continue : l’énergie associé à un condensateur de capacité C est
1 Q² 1 1
U= = QV = CV ²
2 C 2 2
➔ Distribution volumique de charges : au point P dans le volume V
1
U= ∭ ρ(P) V (P) dV avec ρ distribution volumique de charges
2 V

1
Énergie associée au champs E en P : u= ϵ0‖⃗
E (P)‖²
2


Magnétostatique – Champs et forces


Force de Lorentz : ⃗
F =q ⃗
E +q ⃗v ∧ ⃗
B Force sur une charge

Force de Laplace : d ⃗ B force exercée sur un conducteur de volume dV parcouru par
F =dV ⃗j∧ ⃗
une densité de courant j dans un champs B

Si conducteur filiforme : d ⃗
F =I ⃗
dl∧ ⃗
B
Loi de Biot et Savart : Détermine le champs B crée en M par un courant :

μ u⃗ avec dl le long du conducteur et r la distance
• Circuit filiforme : ⃗ B ( M )= 0 ∮ I ⃗ dl∧
4π c r²
conducteur M
μ0 I
• Cas du fil infini : ⃗ B (M )= u avec a distance entre le fil en M

2πa θ
μ I R² μ I sin ³ θ
• Spire circulaire en un point de son axe : ⃗ B ( M)= 0 u z= 0
⃗ u z avec R

2r ³ 2R
rayon de la spire, r distance entre le centre de la spire et M et θ angle entre l’axe et la spire
en M
μ nI
• Solénoïde : A l’intérieur : ⃗ B ( M )= 0 (cos θ1 +cos θ 2) ⃗ uz
2

μ0 n I
A l’extérieur : ⃗
B ( M )= u z avec n nombre de spires et θ les angles formés
(cos θ1−cos θ2 )⃗
2
entre le point l’axe et les extrémités du solénoïde en M.

Pour un solénoïde infini : ⃗
B ( M )=μ 0 n I ⃗
uz

Théorème d’Ampère :

La circulation du champs B le long d’un contour fermé orienté par n est égal à μ0 fois la somme
des intensités enlacés par ce contour.
C ⃗B=∮ ⃗ dl=μ 0 Σ I enlacés Les I sont positives si ⃗n . u⃗z >0 sinon négatif avec uZ qui porte les I.
B .⃗



Potentiel vecteur :

Le champs magnétique B dérive d’une potentiel-vecteur A : ⃗ rot ⃗
B =⃗ A

μ0 ∮ I ⃗
dl

A= A est en T.m
4π r

La circulation de A le long du contour d’une surface S donne B ∮ ⃗A . ⃗
dl=∬ ⃗
B . ⃗n dS
S




Flux du champs :

B=0 Et le flux de B est conservatif :
div ⃗ ∯ ⃗B . ⃗n dS=0
S


Théorème de Maxwell :

Le travail W des forces magnétiques lors du déplacement d’un circuit fermé parcouru par un
courant I dans un champs B égal : W =σ ΦC =I ( Φ f −Φ i)
INDUCTION :

Découverte par Faraday. Inducteur : Source du champ B . Induit : Circuit ouvert ou fermé qui
subit la f.e.m et le courant induit (circuit fermé uniquement) lors du déplacement de l’inducteur par
rapport à l’induit.

Force de Lorentz : ⃗ B avec q la charge et v sa vitesse.
F =q ⃗v ∧⃗

Loi de Faraday ; La f.e. m d’induction est relié au flux coupé du champs B par le conducteur.
−d Φ
e=
dt
Loi de Lenz : Le sens du courant du courant induit est tel qu’il tend à s’opposer a la cause qui lui a
donné naissance.

Bonhomme d’ampère : I entrant par les pieds, regarde en M, le champ B sur bras gauche.

Maxwell – Faraday : ⃗ −∂ ⃗
B
rot ⃗
E=
∂t

Autoinduction : inducteur et induit confondus, cas de la bobine (sans noyau).
di L en Henry
L= Φ ⇒ e=−L
i dt


ELECTROMAGNETISME EN REGIME VARIABLE :


Maxwell-Ampère : ⃗ ∂⃗
E
rot ⃗
B =μ0 ⃗j + ϵ0 μ 0
∂t


EQUATIONS DE MAXWELL (1873)
Gauss div ⃗ ρ Relie la charge à l’apparition d’un champ E. Des lignes de
E = ϵ0
champs divergent depuis la charge jusqu’à l’infini.
Thompson : div ⃗
B=0 Les lignes de champs B ne partent par vers l’infini. Il
n’existe pas de monopole magnétique

−∂ B C’est la varia...

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