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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Casio fx-CP400
Auteur Author: SPC07
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Description 

MECANIQUE DU POINT


Dans un référentiel non Galiléèn on applique la seconde loi de Newton mais on ajoute les forces
d’inertie d’entraînement : fie

d ²⃗
O1 O 2
• Référentiel en translation : ⃗
f ie (M )=−m ⃗
ae (M )=−m
dt ²

• Référentiel en rotation : On ajoute la force d’inertie d’entrainement et de Coriolis

⃗ d ²⃗
Ω ⃗
ae (M )=−mΩ ² ⃗
f ie (M )=−m ⃗ HM −m ∧OM avec Ω vecteur rotation, H projection du point
dt
M sur l’axe de rotation. On note que mΩ²r est l’expression de la force centrifuge.

Théorème du moment cinétique :

• σ A =⃗
Moment cinétique en un point A : ⃗ AM ∧⃗p

d⃗
σA
Mo( ⃗f ) avec Moment d’une force ; ⃗
=Σ ⃗ Mo ( ⃗f )=⃗
OM ∧ ⃗f
dt

Puissance d’une force :

dW ⃗
P( ⃗f )= =f . v⃗
dt

Théorème énergie cinétique :

Dans un RG la variation d’Ec entre t1 et t2 est égale à la somme des travaux des forces.

Théorème énergie mécanique :

L’Em d’une particule soumise à des forces conservatives est cste au cours du temps : dEm/dt = 0

Forces centrales :

Un point M soumis à des forces centrales :
• Moment cinétique conservatif
• le mouvement de M se fait dans un plan perpend. Au moment cinétique et passant par O
• Respect de la loi des aires
• l’Em du point M est conservative


Force dérivant d’un potentiel : F = - grad(Ep)
OSCILLATEURS :


Une dimension non amortit

d² x
La seconde loi de Newton conduit à : + ω0 ² x=0 avec ω0 ²=k /m si F=-k.x
dt ²

La solution générale d’une telle equa diff est x (t)=a sin(ω 0 t +Φ)

La solution d’une équa diff est la somme de la solution générale et de la solution particulière
(second ordre = 0, donc ici, x = 0 sans interet ) .

1 1
Energie mécanique : Em= mv ²+ kx ²
2 2


Une dimension amortit


d ² x 1 dx 1
+ + ω0 ² x=0 et τ =h /m si en plus de F = - k.x on a f = - h.v
dt ² τ dt

1
C’est un polynôme du seconde degré. Donc la solution dépend du signe de Δ= −4 ω0 ²
τ²

Si Δ > 0 , régime apériodique. 2 solutions r1 et r2 : (−b− √ Δ) /(2 a) et (−b+ √ Δ)/( 2a)

La solution de l’équa diff est du type : x (t)=a exp(r 1 t)+b exp (r 2 t )

Si Δ < 0 , régime oscillatoire pseudo-périodique.


x (t)=exp (
−t

)( a cos Ωt+b sin Ω t)

Avec Ω= ω 0 ²−
1
4τ²
pseudopériode: T =2 Π/Ω


Si Δ = 0, régime critique

−t
x (t)=(at +b)exp( )


Oscillation forcée : Mise en place du régime permanent.

d ² x 1 dx 1 f
+ + ω0 ² x=F(t)/m soit en complexe z ' ' (t)+ τ z ' (t)+ω0 ² z (t)= 0 exp( iω t)
dt ² τ dt m

On part du principe que F(t) est sinusoidale, elle peut s’écrire F(t)=(f 0 /m)exp(i ω t)

La réponse sera sinusoidale et pourra s’écrire z (t)=( z 0) exp(iω t) donc

z ' (t)=i ω(z 0 ) exp(i ωt ) donc z ' ' (t)=−ω ² ( z 0) exp(i ω t)
f0 1
En réinjectant dans equa diff on trouve que z 0= ×
m ( ω0 ²−ω ²)+i ω/ τ

D’après l’expression de z’(t), on voit que v 0 =iω z 0

Résonance :

f0 1
z 0 (ω)= F (ω) on trouve la norme de F |F (ω)|=
m √(ω 0 ²+ω ²) ²+(ω/ τ)²
Le déphasage entre la force excitatrice F et l’oscillateur est tan (Φ(ω))= −ω / τ
ω 0 ²+ ω ²

Principe de causalité ; La réponse est toujours en retard de la phase sur la force excitatrice.
ω
Le facteur de qualité Q de l’oscilateur est tel que Q= 0 ≈ω0 τ avec Δ ω bande passante en
Δω
puissance. (largeur à mi hauteur de la puissance)

MECA DES SYSTEMES :

Un système S peut être défini comme un ensemble de points matériels Mi affectés d’une masse
mi .


Σm i⃗
OM i
∭⃗
OM dm
Centre d’inertie G : Défini par ⃗
OG= = ⃗
OG= S
m m

Le référentiel barycentrique associé à G ne tourne pas avec le solide.

Principe d’inertie : Dans un référentiel Galiléen la quantité de mvment est constante.

Théorème du centre d’inertie = seconde loi de Newton.

Les formules sont les mêmes que pour le point mais résultent de la somme des masses du système :

Exemple : Ec (S/ R)= ∑ 1/2 mi v ² ( Mi/ R) l’énergie cinétique de S dans un référentiel R pour
Mi∈ S
tous les points Mi de masse mi.

Pour les théorèmes de conservation de Ec et Ep, il faudra prendre en compte les énergies internes.


Théorème de Koenig :

Calcule des moments cinétiques et énergies cinétiques d’un pt du système dans R en fonction du
moment cinétique de G dans R et de l’Ec dans le ref barycentrique.

⃗ σ G (S)+⃗
σ A (S/ R)=⃗ AG∧m⃗
v G ( R) Et Ec (S/ R)=E c (S / Rba)+1/ 2 m v G ²(R)
MECA DU SOLIDE INDEFORMABLE :

Somme des forces intérieures nulle, somme des travaux des forces intérieures nulle.

Solide en rotation autour d’un axe fixe Δ:

1
Moment cinétique : σ Δ (S)=J Δ . ω Energie cinétique : Ec(S)= J Δ ω ²
2

d σ Δ ( S) d²θ
Théorème du moment cinétique : =Σ M Δ (⃗
F ext ) soit JΔ =Σ M Δ (⃗
Fext )
dt dt ²

Moment d’inertie à connaître :

Sphère Cylindre disque Anneau Tige
2 1 1 J Δ =MR ² Ml ²
J Δ = MR ² J Δ = MR ² J Δ = MR ² J Δ=
5 2 2 12


Théorème de Huygens :

Permet de calculer le moment d’inertie en un point quelconque :

J Δ =J (Δ G ) + Ma ² avec M masse du solide et a distance entre l’axe Δ et l’axe ΔG passant pas le
centre de gravité.


Contact, frottement glissement et loi de Coulomb :

On décompose la réaction du support en composante normale N et tangentielle T.

La vitesse de glissement est colinéaire et de sens opposé à la composante tangentielle avec:

‖T⃗‖=f ‖⃗
N‖ avec f coefficient de frottement (normalement dynamique mais assimilé au
statique)


STATIQUE DES FLUIDES :

⃗ dS Avec p pression.
dF= p . ⃗

Loi fondamentale de l’hydrostatique :

grad p=−ρ ⃗g en prenant un axe z vers le haut, ce qui mène à
⃗ p(B)− p( A)=ρ g (z A −z B )

Archimède : ⃗
Π=ρfluide g V u⃗z la poussée s’exerce sur le centre de poussée C (centre de masse

immergée). La stabilité d’un bateau exige que C soit au dessus du centre de gravité du bateau.

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