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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: aivdamian
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 9
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Description 

EXAMEN DE CONTROL AUTOMÁTICO
SEGUNDO PARCIAL
ENERO 31 DE 2012
PRIMER TEMA: 30 puntos
A partir de la gráfica de Magnitud de Bode que se muestra a continuación y que representa la
función de transferencia de un sistema cualquiera, encuentre lo siguiente:
a) (10) La función de transferencia G(s) en términos de la variable “s”.
b) (10) La gráfica de fase versus frecuencia en papel semi-logarítmico.
c) (10) El Margen de Fase y Margen de Ganancia del sistema de forma gráfica y
analítica.




SEGUNDO TEMA: 35 puntos
Un servo control basado en un motor de
corriente continua controlado por
armadura (J=0.01, b=0.1, Km=0.01,
Ra=1, La=0.5) debe responder a una
dinámica tal en la que sus polos deben
ser ubicados en:
p1=-10; p2=-2+2j; p3=-2-2j
.  
 
  0 1 0 
.      0 
    0  b Km     
  0 va
.  J J     
 ia    ia 
Ra     
1
Km
  0     La 
   La La 

a. Encontrar la Matriz de
Realimentación de Estados K.
TERCER TEMA: 35 puntos
Un sistema con retroalimentación negativa unitaria tiene una función de transferencia:
K
G( s)  ; H (s)  1
( s  1)( s  2s  2)
2

a) (5) Encuentre el valor límite de K para estabilidad.
b) (15) Para K = 5, grafique el trazo polar basado en puntos de frecuencias: w = 0.4, 0.8, 1.5, 2.0 y
3.0 rad/seg. Aplique el criterio de Nyquist y determine la estabilidad del sistema.
c) (8) Si se duplica el valor de K a K = 10, cómo se afectar la estabilidad del sistema? Encuentre
los polos de lazo cerrado para esta condición.
d) (7) Si se triplica la ganancia a K = 15, según el criterio de Nyquist, cómo se afecta la
estabilidad? Estime los valores de Margen de Ganancia y Margen de Fase.
Solución:
PRIMER TEMA:

a)
Sistema _ Lazo _ Abierto _ Tipo _ 0 :
Kp  20 _ dB  Kp  0.1
z  0.3 ; p1  30 ; p2  70
Kp (1  j / z ) 0.1(1  j / 0.3) 700( s  0.3)
G ( j )   j  s  G ( s ) 
(1  j / p1 )(1  j / p2 ) (1  j / 30)(1  j / 70) ( s  30)( s  70)
c)
G ( j ) dB  20  10 log(1  ( / 0.3) 2 )  10 log(1  ( / 30) 2 )  10 log(1  ( / 70) 2 )
G ( j )  tan 1 ( / 0.3)  tan 1 ( / 30)  tan 1 ( / 70)
  cP  G (cP ) dB  0
0  20  10 log(1  (cP / 0.3) 2 )  10 log(1  (cP / 30) 2 )  10 log(1  (cP / 70) 2 )
cP  70 
20  20 log(cP / 0.3)  20 log(cP / 30)  20 log(cP / 70)
1  log(cP )  log(0.3)  log(cP )  log(30)  log(cP )  log(70)
log(cP )   log(0.3)  log(30)  log(70)  1  2.79  cP  617
MF  180  G (cP ) ; MF  180  tan 1 (cP / 0.3)  tan 1 (cP / 30)  tan 1 (cP / 70)
 180  89.9  87.21  83.53  MF  99.16
MG  
c)
0.1 (1  ( / 0,3) 2 )
G ( )   1 ; (1  ( / 30) 2 )(1  ( / 70) 2 )  0.01(1  ( / 0,3) 2 )
(1  ( / 30) ) (1  ( / 70) )
2 2


(1  ( / 30) 2 )(1  ( / 70) 2 )  0.01(1  ( / 0,3) 2 )  0

[w]=solve('(1+(w/30)^2)*(1+(w/70)^2)-0.01*(1+(w/0.3)^2)=0')
w = -695.83833115419885265294475446189
695.83833115419885265294475446189
-3.0028147694279166014602694186546
3.0028147694279166014602694186546
b), c)
SEGUNDO TEMA:
a.)
J  0.01 ; b  0.1 ; Km  0.01 ; Ra  1 ; La  0.5
p1  10 ; p 2  2  j 2 ; p 3  2  j 2
.  
  .
  0 1 0 
0  
.       .  0 1 0    0 
    0  b Km        0 10    
         0  va
J     
0 v ; 1
. 
a
.  J
 ia    ia   ia  0 0.02 2   ia   2 
Ra     
1
Km
  0     L a  
   La La   
 0    r   0 0 0    r 
   
va    0   Kc1 Kc 2 Kc 3       0  0 0    
 2   ia   2 Kc1 2 Kc 2 2 Kc 3   ia 
.
 
.  0 1 0   
    0  10 1     2 Kc1r
.   
 ia   2 Kc1 2 Kc 2  0.02 2 Kc 3  2   ia 
 
 
 s 1 0 
det  I  A  0  det  0  s  10 1 0

 2 Kc1 2 Kc 2  0.02 s  (2 Kc 3  2) 
s ( s  10)( s  2 Kc 3  2)  s (2 Kc 2  0.02)  2 Kc1  0
s 3  (2 Kc 3  12) s 2  (2 Kc 2  20 Kc 3  20.02) s  2 Kc1  0
Por _ comparación _ de _ coeficientes _ con :
( s  10)( s 2  4 s  8)  0  s 3  14 s 2  48s  80  0
 2 Kc 3  12  14  Kc 3  1

 2 K c 2  20 Kc 3  20.02  48  Kc 3  4
 2 Kc1  80  Kc1  40

% Control de Posición A
clear, clc
J = 0.01; b = 0.1; Kb = 0.01;
R = 1; L = 0.5;
% Matriz de estados
A = [0 1 0
0 -b/J Kb/J
0 -Kb/L -R/L];
% Matriz de entrada de referencia
B = [0 ; 0 ; 1/L];
% Matriz de entrada de perturbación
Ba= [0;1/J;0];
C = [1 0 0];
D = [0];
sys=ss(A,B,C,D); p=eig(A)
% Polos reubicados
p1 = -2+2i;
p2 = -2-2i;
p3 = -10;
% Matriz de realimentación de estados
Kc = place(A,B,[p1,p2,p3])
% Sistema en lazo cerrado
SS_DCMotorPositionAC1
TERCER TEMA:


K
G(s)  ; H (s)  1
( s  1)( s 2  2 s  2)
a)
K G(s) K
G(s)  ; T (s)  
s 3  3s 2  4 s  2 1  G ( s ) H ( s ) s 3  3s 2  4s  2  K
Aplicando _ criterio _ de _ Routh _ Hurwitz :
s3 1 4
s2 3 2 K
s1 A
s0 2  K
12  (2  K )
A  0  K c  10
3
Ecuación _ auxiliar :
3s 2  (2  K )  0  s1,2   j 2
b)
2.5
G ( j ) 
(1  j )((1  ( / 2) 2 )  j )
G ( j ) dB  20 log(2.5)  10 log(1   2 )  10 log((1  ( / 2) 2 ) 2   2 )
2
G ( j )   tan 1 ( )  tan 1 ( )
2 2
 G ( j ) dB G ( j ) G ( j )
0.4 7.3 2.31 45
0.8 5.38 1.86 90
1.5 0.78 1.09 150
2.0 5.95 0.5 180
3.0 15.6 0.17 213
c)
10
K  10  T ( s ) 
s 3  3s 2  4 s  12
E.C.: q ( s )  s 3  3s 2  4s  12  0
Sabemos _ que _ para _ K  10 : s1,2   j 2 
( s  r )( s 2  4)  0  s 3  rs 2  4 s  4r  0
Por _ comparación _ de _ coeficientes :
r  3  s1,2   j 2 ; s3  3




d)
15
K  15  G ( s ) 
( s  1)( s 2  2s  2)
P0
Aplicamos _ Nyquist :
N  2  Z  2 Sistema _ inestable
MF  13.8 ; MG  3.52
EXAMEN DE CONTROL AUTOMÁTICO
SEGUNDO PARCI...

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