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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: cln
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 9
Taille Size: 476.82 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 12/07/2019 - 20:52:39
Uploadeur Uploader: cln (Profil)
Téléchargements Downloads: 1
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2270199

Description 

[ Corrigé du baccalauréat S Liban mai 2012

Exercice 1 6 points
Commun à tous les candidats.


Partie A
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

g (x) = 2x 3 − 1 + 2ln x
1. Variations de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[ :

2
g ′ (x) = 6x 2 + > 0, car somme de nombres positifs sur ]0; +∞[
x
La fonction g est donc croissante sur ]0 ; +∞[.
Tableau de variations :

x 0 α +∞


g ′ (x) +

+∞
g (x)
0
−∞

2. La fonction g est continue (comme somme de fonctions continues) et strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Elle réalise donc une bijection de ]0; +∞[ sur ] − ∞ ; +∞[.
Or 0 ∈]−∞ ; +∞[, 0 possède donc un unique antécédent, que l’on notera α. Nous avons donc g (α) = 0.
De plus,
(
g (0, 86) ≃ −0, 0295 < 0
=⇒ g (0, 86) < g (α) = 0 < g (0, 87) ⇐⇒ 0, 86 < α < 0, 87
g (0, 87) ≃ +0, 0385 > 0

3. Signe de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[ :
(
0 < x < α =⇒ g (x) < g (α) = 0
x > α =⇒ g (x) > g (α) = 0

Partie B
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

ln x
f (x) = 2x −
x2
³ → − → −´
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal O, ı ,  .

1. • Limite de la fonction f en 0 :

1
lim f (x) = +∞, car lim 2x = 0 et lim − ln x = +∞ et lim = +∞
x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x2
Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.



• Limite de la fonction f en +∞

ln x
lim f (x) = +∞ car lim 2x = +∞ et lim = 0 (puissances comparées)
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2

2. La courbe C admet pour asymptote oblique la droite ∆ d’équation y = 2x.
En effet :
¡ ¢ ln x
lim f (x) − 2x = lim =0
x→+∞ x→+∞ x 2

ln x
• Le signe de f (x) − 2x = − est celui de − ln x, car x 2 > 0 :
x2
• Position relative de la courbe C et de la droite ∆ :
• Sur ]0; 1[, − ln x > 0, C est au dessus de ∆,
• sur ]1; +∞[, − ln x < 0, C est en dessous de ∆,
• C et ∆ ont un point commun A(1, 2).
3. Dérivée f ′ (x) de f :

1
x 2 − 2x ln x
2x 4 − x + 2x ln x 2x 3 − 1 + 2ln x g (x)
f (x) = 2 − x

= = = 3
x4 x4 x3 x
f ′ (x) a même signe que g (x) car x 3 est strictement positif sur ]0; +∞[.
4. Tableau de variations de la fonction f :

x 0 α +∞
f ′ (x)
− 0 +
+∞ +∞


f

f (α)




Liban 2 mai 2012
Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.




8


7


6


5


4


3


2


1


0
α
0 1 2 3 4


Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la
droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n.

1. Cette aire, exprimée en cm2 , est donnée par (u.a ; (unité d’aire)=2 cm2 ) :
Zn
ln x
In = 2 dx.
1 x2

car l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations res-
pectives x = 1 et x = n est :
Zn µ µ ¶¶ Zn Zn
ln x ln x ln x
2x − 2x − 2 dx × u.a. = 2
dx × u.a. = 2 × 2
dx = I n
1 x 1 x 1 x

Zn
ln x
2. a. Calcul de l’intégrale dx à l’aide d’une intégration par parties :
1 x2
On pose :
1
u(x) = ln x ; u ′ (x) =
x
1 1
v ′ (x) = 2 ; v(x) = −
x x
Ainsi : Zn · ¸ Zn · ¸
ln x ln x n 1 ln x 1 n n − 1 − ln n
dx = − − − dx = − − =
1 x2 x 1 1 x2 x x 1 n


Liban 3 mai 2012
Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.



b. Ainsi :
n − 1 − ln n 2 2ln n
In = 2 = 2− −
n n n
2 2ln n
3. lim I n = 2, car lim = lim =0
n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n

Exercice no 2 4 points
Commun à tous les candidats.
1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O ;~ı ; ~ ; ~
k), on considère les droites D1 et D2 de
représentations paramétriques respectives :
 
  8 + 5t ′
 x = 4+ t
  x =




y = 6 + 2t , t ∈ , et  y ...

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