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Description 

MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1

 El ajuste de mínimos cuadrados a la ecuación transformada no produce el mismo ajuste de
coeficientes como la solución directa de un problemas de ajuste de mínimos cuadrados no lineal que
involucra el original ajuste de la función
 Ejemplo
y = α eβ x ln y = c1x + c2
y = α xβ ln y = c1 ln x + c2
y = α x eβ x ln (y/x) = c1x+c2

Ajuste de la combinación lineal de funciones
 Definición de la función de ajuste y funciones base
 Formulación del sistema sobre-determinado
 Solución vía ecuaciones normales

Considere la función de ajuste

F(x) = c1 f1(x)+c2 f2(x)+… +cn fk(x)
Ó
n
F(x) =
∑ ci f i ( x)
i =1
Las funciones base

son seleccionadas por la persona que hace el ajuste
Los coeficientes


son determinados por el método de los mínimos cuadrados
F(x) puede ser cualquier combinación de funciones que sean lineales en los coeficientes cj, por esta razón

son todas funciones base válidas. Por otro lado



no son funciones base válidas, desde que los cj son los parámetros del ajuste.
La función de ajuste para un polinomio cúbico es




la cual tiene las funciones base



El objetivo es encontrar los cj tal que F(xi) ≈ yi .
Desde que F(xi) ≠ yi , el residual para cada punto de la data es



La solución de mínimos cuadrados proporciona los cj que minimizan r 2.
Considere la función de ajuste con tres funciones base




Asumiendo que F(x) actúa como una función interpolante. Entonces las ecuaciones
son todos satisfechas.



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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1




Las ecuaciones anteriores son equivalentes al sistema sobre-determinado

Ac=y
Donde




Si F(x) no interpola la data, entonces la ecuación matricial precedente no puede ser resuelta exactamente;
b no cae en el espacio columna de A.
El método de los mínimos cuadrados provee la solución de compromiso que minimiza


El valor de c que minimiza r 2 satisface la ecuación normal



Problemas Resueltos
Problema 1
Dado el siguiente conjunto de puntos:
X 5 9 13
F(x) 4.71 8.26 18.45




Estimar f(6)




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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1


Solución
Primero construimos la Tabla de diferencias Divididas:


i xi f(xi) f[ , ] f[ , , ]

x=6 0 5 4.71
0.8875
1 9 8.26 0.2075
2.5475
2 12 18.45

El Polinomio de interpolación basado en diferencias divididas será:
P2(x)=f0+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Reemplazando:
P2(x)=4.71+0.8875(x-5)+0.2075(x-5)(x-9)
Luego: f(6)≈P2(6)= 4.9750
Problema 2
Dada la siguiente tabla de datos:
I xi f(xi) f[,] f[,,] f[,,,] f[,,,,]
0 0.1 0.748125
-0.10044
1 0.2 0.738081 0.00655
-0.098475 0.2193
2 0.4 0.718386 0.1162 0.034667
-0.051995 0.2401
3 0.6 0.707987 0.23625
0.01888
4 0.7 0.709875

Se Pide:
a) Construir el polinomio interpolante de Newton, para n=2 y n=3
b) Interpolar para x=0.17 en cada polinomio de la parte a)
c) Halle el error cometido en cada caso
Solución
a) Para n=2:
P2(x)=f0+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Reemplazando:
P2(x)=0.748125-0.10044(x-0.1)+0.00655(x-0.1)(x-0.2)
P2(0.17)=0.741080445


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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1


Para n=3:
P3(x)=f0+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+ f[x0,x1,x2x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Reemplazando:
P3(x)=0.748125-0.10044(x-0.1)+0.00655(x-0.1)(x-0.2)+0.2193(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)
P3(0.17)=0.741186366
d) Podemos aproximar el error de la siguiente forma:
en(x)=f[x0,x1,....,xn+1](x-x0)...(x-xn)
e3(x)=f[x0,x1,x2,x3,x4](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) e3(0.17)=-0.7199x10-5
e2(x)= f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) e2(0.17)=0.1059x10-3

Problema 3

Dados los siguientes valores:

k xk f(xk)
0 0.0 0.00
1 1.0 0.75
2 2.0 2.25
3 3.0 3.00
4 4.0 2.25


a) Encuentre f(1.5) usando la mejor aproximación posible. (no tome en cuenta el
último valor (x4,f(x4) ).
b) Que polinomio usaría para interpolar x=3.5, aproxime la f(3.5).
a) Como estimaría x , si se sabe que f(x)=1.

Solución
a) Usando diferencias divididas (04 puntos)

k x y y1[ ] y2[ ] y3[ ]
0 0.0 0.0000 0.7500 0.3750 -0.2500
1 1.0 0.7500 1.5000 -0.3750 0.0000
2 2.0 2.2500 0.7500 0.0000 0.0000
3 3.0 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Polinomio Interpolante de Newton.

P3(x) = 0 + (x – 0 ) (y1[ ] ) + (x)(x –1) y2[ ] + (x)(x –1)(x –2) y3[ ]
P3(1.5)= 1.5000

x= 0 1 2 3 4
y= 0 0.7500 2.2500 3.0000 2.2500




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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1

Tabla de Diferencias finitas
Usando todos los puntos dados
y ∆y ∆ 2y ∆ 3y ∆4 y
0.0000 0.7500 0.7500 -1.5000 0.7500
0.7500 1.5000 -0.7500 -0.7500
2.2500 0.7500 -1.5000
3.0000 -0.7500
2.2500
Polinomio Newton Progresivo
h=1
S=(x –0)
H

Usando 4 puntos
P3(x) = yo + s ∆yo + s(s –1) ∆ 2yo + s(s –1)(s –2) ∆ 3yo
2 6
X=1.5
S= 1.5
P3(1.5) =1.5


b).- Que polinomio usaría para interpolar x=3.5, aproxime la f(3.5).
P4(x) = yo + s ∆yo + s(s –1) ∆ 2yo + s(s –1)(s –2) ∆ 3yo + s(s –1)(s –2)(s-3) ∆ 4yo
2 6 24
Usando 5 puntos
x=3.5
s=3.5
P4(3.5) = 2.8301

Usando 4 puntos

P3(3.5) = 2.6250 (menos aproximado porque estaría extrapolando)

d) haciendo X =y e Y = x
Usando diferencias divididas solo para x= [ 0 1 2 3 ]
Y Y1[ ] Y2[ ] Y3[ ]


0.0000
1.3333
1.0000 -0.2963
0.6667 0.1975
2.0000 0.2963
1.3333
3.0000

Con 4 puntos: P(X=1.0)= 1.1975

Respuesta: x= 1.1975 cuando f(x) = 1



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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1


Problema 4

Dado la siguiente tabla:

X 1 2 2.5 3 4 5

F(X) 1 5 7 8 2 1


a) Calcular F(3.4) usando el Polinomio interpolante de Newton de orden 1, 2 y 3.
Escoger la secuencia de los puntos para que obtenga la mejor aproximación posible.

b) Como aproximaría el error cometido para cada caso.

Solución

x y Y1[ ] Y2[ ] Y3[ ] Y4[ ] Y5[ ]
1 1
4
2 5 0
4 -1.000000
2.5 7 -2 -0.222222
2 -1.666667 0.455556
3 8 -5.3 1.600000
3.4 -6. 3.133333
4 2 2.5
-1
5 1
p1(X) = 8 -6(X-3)
p1(3.4) = 5.6000

p2(X) = 8 -6(X-3) -5.333(X-3)(X-4)
p2(3.4) = 6.8799

p3(X) = 8 -6*(X-3) -5.333*(X-3)*(X-4) +3.133333*(X-3)*(X-4)*(X-2.5)

p3(3.4) = 6.2031

Error cometido

E1(x) = -5.333(X-3)(X-4)
E1(x) = 1.2799
E2(x) = 3.133333(X-3)(X-4)(X-2.5)
E2(3.4) = -0.6768
E3(x) = 1.6*(X-3)*(X-4)*(X-2.5)*(X-5)
E3(x) =0.5530




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MÉTODOS NUMÉRICOS – MB536 UNI-FIM-2009-1


Problemas Propuestos
1. Se tiene la siguiente tabla ( obtenida a partir de F(x) = Ln(x) )
X 1 2 3 4 5
F(x) 0 0.6931 1.0986 1.3863 1.6094


a) Estimar los valores de F(0.8) y F(1.2), utilizando el polinomio progresivo
b) Estimar los valores de F(3.2), ut...

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