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Álgebra y Geometría Analítica 2017

UNIDAD Nº 3:

MATRICES CUADRADAS, INVERSAS Y DETERMINANTES


Matriz Inversa
Si dos matrices A, B ∈ℜn×n (cuadradas de orden n) cumplen con la condición
A.B= I=
n B. A ( I n : matriz identidad de orden n), entonces son inversas entre sí. Es
decir, A es la inversa de B y B es la inversa de A, sin que medien jerarquías entre
ellas.
Por convención las matrices inversas se anotan con el supra índice -1. Así
A−1 , B −1 , C −1 ,..., Z −1 denotan las inversas de las matrices A, B, C ,..., Z respectivamente
y la condición que las identifica se expresa: A. A−=
1
I=
n A−1 . A .


La inversa de una matriz, si existe, es única.
Se llaman invertibles, regulares o no singulares a las matrices que tienen inversa y no
invertibles, singulares o no regulares a las que no la tienen.


Atención:Note que la expresión A−1 no indica la potencia -1 de A, se lee ‘A-inversa’ y
1
no se debe confundir con la expresión (recuerde que no está definido el cociente
A
con matrices).

Una matriz ortogonal de orden n × n es aquella en la que se cumple que A t = A −1

Una matriz simétrica es aquella en la que se cumple que At = A

Una matriz anti simétricaes aquella en la que se cumple que At = − A

Se denomina matriz triangular superior de orden n × n a aquella en que los
elementos debajo de la diagonal principal son nulos y matriz triangular inferior a
aquella en que los elementos por encima de la diagonal principal son nulos.

Una matriz diagonal de orden n × n es aquella en que los elementos fuera de la
diagonal principal son obligatoriamente ceros.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de su
diagonal principal idénticos entre sí, por ejemplo ‘c’.
Nota:Si se multiplica a izquierda o a derecha una matriz A ∈ ℜm×n (rectangular) por una
matriz escalar de orden correspondiente, el resultado es idéntico al que se obtiene al
realizar el producto del escalar ‘c’ por dicha matriz A .

Propiedades principales de matrices invertibles:

Sean A , B matrices cuadradas de orden n , y c un escalar:


(A )
−1
−1
=A Si A es invertible, entonces A−1 es invertible y su inversa es A .

20 MATRICES CUADRADAS, INVERSAS Y DETERMINANTES
Álgebra y Geometría Analítica 2017

1
( c. A)
−1 Si A es invertible y c un escalar no nulo, entonces cA es
= . A−1
c invertible.

( A.B ) Si A y B son invertibles del mismo orden, entonces A. B es
−1
= B −1 . A−1
invertible.
(A ) =(A )
−1 t
t −1
Si A es invertible, entonces At es invertible.

(A ) =(A )
−1 k
−1
Si A es invertible, entonces Ak es invertible para todo k ∈ N
k




Si se tiene A. X = B y A es invertible, entonces se puede obtener X = A−1 . B
multiplicando ambos miembros de la ecuación matricial por A−1 , a la izquierda.

Si la ecuación matricial A. X = B representa un Sistema de Ecuaciones Lineales
donde A ∈ℜn×n es la matriz de coeficientes, X ∈ℜn×1 la matriz columna de las
incógnitas y B ∈ℜn×1 la matriz columna de los términos independientes; entonces
podemos afirmar que si existe A−1 , el SEL es Compatible Determinado y su Conjunto
= X= A−1 . B .
Solución se puede obtener realizando el producto matricial S

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada, cuando eso sea posible, se usará el
método de Gauss-Jordan, concepto que se ampliará durante las clases.

Función determinante: La función determinante es una correspondencia que
le asigna a cada matriz cuadrada A , un único número real (o complejo). Se
simboliza det ( A ) ó A .
• Determinante de una matriz de orden 1

Si A= [a 11 ], se define det (A) = a11

• Determinante de una matriz de orden 2
a a12  a11 a12
Si A =  11  =
, se define det( A) = a11 .a22 − a12 .a21
 a21 a22  a21 a22

• Determinante de una matriz de orden n>1 (Regla de Laplace)

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij es el número
real (o complejo) que se denota M ij y se define como el determinante de la
matriz que se obtiene al eliminar de A la i − ésima fila y la j − ésima columna.
El número ( −1)
i+ j
M ij se denota C ij y se conoce como cofactor del elemento aij .

Se puede calcular el determinante de una matriz A ∈ ℜ n×n multiplicando los
elementos de cualquier línea (fila o columna) por sus cofactores y sumando los
productos que resulten.

O sea: para cada i / 1 ≤ i ≤ n , para cada j / 1 ≤ j ≤ n :
n
det ( A=
) ai1C i1 + ai 2C i 2 + ... + ainC=
in ∑a C
j =1
ij ij
, (desarrollo por la i − ésima fila) o



21 MATRICES CUADRADAS, INVERSAS Y DETERMINANTES
Álgebra y Geometría Analítica 2017

n
det ( A
= ) a1 j C1 j + a2 j C 2 j + ... + anj C=
nj ∑a C
i =1
ij ij , (desarrollo por j − ésima columna)

Siguiendo este procedimiento de desarrollo por cofactores, podemos calcular el
determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.

A modo de ejemplo desarrollamos el determinante de una matriz de 3x3:

Determinante de una matriz A ∈ ℜ 3×3

 a11 a12 a13 
 
Sea A =  a21 a22 a23  , desarrollando por la primera fila, resulta:
 a31 a 32 a33 

a11 a12 a13
det( A ) = a21 a22 a23 = a11C11 + a12C12 + a13C13 =
a31 a32 a33
a a23 a a23 a a22
= a11 ( −1 )1+1 22 + a12 ( −1 )1+ 2 21 + a13 ( −1 )1+ 3 21 =
 a32 a33   a31 a33  a31 a32
1 ( −1 ) 1

a22 a23 a a a a
= a11 − a12 21 23 + a13 21 22
a32 a33 a31 a33 a31 a32

Propiedades

1) Si A es una matriz cuadrada de orden n que contiene una línea (fila o
columna) de ceros, entonces det ( A ) = 0
2) Si A* es la matriz que se obtiene cuando una sola línea (fila o columna)
de A se multiplica por un número real (o complejo) k , entonces
det ( A * ) = k .det ( A )
3) Si A es de orden n , entonces det ( k . A ) = k n det ( A ) .
4) Si A* es la matriz que se obtiene al intercambiar dos líneas (filas o
columnas) de A , entonces det ( A * ) = − det ( A ) .
5) det ( At ) = det ( A ) .
6) Si A* es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de una fila (o
columna) de A , a otra fila (o columna), entonces det ( A * ) = det ( A )
7) Si A es una matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal de
orden n , entonces det ( A ) = a11 a22 a33 ... ann .
8) Si A, B y C son matrices idénticas, excepto que para cierto i, la fila i-
ésima de C es igual a la suma de la fila i-ésima de A y la fila i-ésima de
B, entonces det (C) = det (A) + det (B)


22 MATRICES CUADRADAS, INVERSAS Y DETERMINANTES
Álgebra y Geometría Analítica 2017

9) Si A y B son matrices de orden n , entonces det ( A. B ) = det ( A ) .det ( B )
10) A es invertible o regular si y sólo si det ( A ) ≠ 0 . Recíprocamente, A es
no invertible o singular si y sólo si det ( A ) = 0 .

11) Si A es regular entonces det A−1 = ( ) 1
det ( A )

Matriz de Cofactores

Si A = aij es una matriz cuadrada de orden n y C ij son los
n

cofactorescorrespondientes a los elementos aij de A, se denominamatriz de
 C11 C12 ... C1n 
C C 22 ... C 2 n 
cofactores de A , a la matriz:  21
 ... ... ... ... 
 
C n1 C n 2 ... C nn 


Matriz Adjunta

Sea A una matriz cuadrada de orden n , se denomina matriz adjunta de A y se
simboliza adj ( A ) a la matriz traspuesta de la matriz de cofactores de A.
...

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