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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: hgjhf
Type : Classeur 3.6
Page(s) : 26
Taille Size: 1.19 Mo MB
Mis en ligne Uploaded: 12/07/2019 - 13:23:14
Uploadeur Uploader: hgjhf (Profil)
Téléchargements Downloads: 0
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2269608

Description 

Respuesta temporal

RESPUESTA TEMPORAL
La respuesta en el tiempo de un sistema de control, frente a una determinada entrada, está
compuesta por dos partes: respuesta transitoria y respuesta en estado estacionario.

ct(t)
c(t)
r(t) LTI
ce(t)

( t ) ct ( t ) + ce ( t )
c=
donde:
r ( t ) = Entrada
ct ( t ) = Respuesta transitoria
ce ( t ) = Respuesta estacionaria
c ( t ) = Respuesta en el tiempo



1 jkm
Respuesta temporal
La respuesta clásica de un sistema de control frente a una entrada escalón, tiene la
siguiente forma:

c(t)

c(∞)



0
Estado Estado t
transitorio estacionario
(Régimen transitorio) (Régimen permanente)

La respuesta transitoria se caracteriza generalmente por la presencia de curvas u
oscilaciones que normalmente decrecen con el tiempo.

La respuesta permanente se caracteriza por presentar un valor de equilibrio o valor
constante que comienza cuando las oscilaciones presentes en la respuesta transitoria se
amortiguan lo suficiente como para considerarlas despreciables.


2 jkm
Respuesta temporal
Sistema de primer orden
La planta de un sistema de primer orden se caracteriza por una constante de tiempo:

1
G (s) = τ : Constante de tiempo (s)
τs

Realimentando se tiene:




La función de transferencia corresponde a:

1 1
C
= τs =
1

C

R 1+
1 τ s +1 R s+
1
τs τ



3 jkm
Respuesta temporal
Aplicando una señal de prueba escalón unitario:
1
(t ) µ (t ) ⇔ R ( s ) =
r=
s

1
C ( s )= τ =
1

1
 −1
1 s 1
s(s + ) s+
τ τ

t Repuesta en el tiempo de un sistema

c(t ) = 1 − e τ de primer orden frente a una entrada
escalón unitario.

c(t)
c(∞)
99%
63%


0
τ 5τ t


4 jkm
Respuesta temporal
Observación: en un sistema de primer orden se considera que transcurrido 5 constantes
de tiempo (5τ) ha finalizado el régimen transitorio y por tanto, ha comenzado el régimen
permanente.




5 jkm
Respuesta temporal
Sistema de segundo orden
La planta de un sistema de segundo orden, se caracteriza por una frecuencia natural y un
amortiguamiento:

ωn2 ωn : Frecuencia natural (rad/s)
G (s) = ξ : Coeficiente de amortiguamiento
s ( s + 2ξωn ) (adimensional)

Realimentando la planta se tiene:




La función de transferencia está dada por:

ωn2
C s ( s + 2ξωn ) C ωn2
= =

R ωn 2
R s 2 + 2ξωn s + ωn2
1+
s ( s + 2ξωn )


6 jkm
Respuesta temporal
Se analiza la ecuación característica:

− 2ξωn ± 4ξ 2ωn2 − 4ωn2
s 2 + 2ξωn=
s + ωn2 0 ⇒=
s1,2
2

s1,2 =− ξωn ± ωn ξ 2 − 1 =− ξωn ± jωn 1 − ξ 2



Dependiendo del valor del amortiguamiento ξ se pueden obtener tres respuestas
diferentes.

ξ > 1 : dos raíces reales y distintas (sistema sobreamortiguado)

ξ : ξ = 1 : dos raíces reales iguales (sistema críticamente amortiguado)
ξ < 1 : dos raíces complejas conjugadas (sistema subamortiguado)


Observación: Las raíces de la ecuación característica corresponden a los polos de la
función de transferencia.




7 jkm
Respuesta temporal


(ωn = 1)




8 jkm
Respuesta temporal




9 jkm
Respuesta temporal


(ωn = 1)




10 jkm
Respuesta temporal
Repuesta temporal para ξ < 1(sistema subamortiguado)

Consideremos un sistema de segundo orden al cual se le aplica una entrada escalón
unitario:




Buscaremos la respuesta en el tiempo c(t).

C ωn2 1
= = ; R
R s + 2ξωn s + ωn
2 2
s

La respuesta en el dominio de la frecuencia, está dada por:

ωn2 1 s + 2ξωn
= C ( s=
C ) = − 2
s ( s 2 + 2ξωn s + ωn2 ) s s + 2ξωn s + ωn2



11 jkm
Respuesta temporal

1  s + ξωn ξωn 
C=− + 2 
s  ( s + ξωn ) + ωn (1 − ξ ) ( s + ξωn ) + ωn (1 − ξ ) 
2 2 2 2 2



Se define:
ωd ωn 1 − ξ 2
= Frecuencia amortiguada (rad/s)

Reemplazando:

1  s + ξωn ξωn 
C=− + 2
s  ( s + ξωn ) + ωd ( s + ξωn ) + ωd 
2 2 2



Aplicando transformada inversa de Laplace:

1  s + ξωn ξ ωd 
C= − +   −1
s  ( s + ξωn ) 2 + ωd2 1− ξ 2 ( s + ξωn ) 2 + ωd2 





12 jkm
Respuesta temporal
 ξ 
1 − e −ξωnt cos (ωd t ) +
c(t ) = sin (ωd t ) 
 1− ξ 2 

Respuesta en el tiempo de un
e

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